1) Rewrite as a polynomial: a) Expand (a – 3)^2; b) Expand (2x + y)^2; c) Expand (5v – 4x)(5v + 4x). 2) Simplify

Тема вопроса: Разложение многочленов и упрощение выражений

Объяснение:
1) a) Чтобы разложить квадрат разности двух выражений (a – b)^2, нужно возвести каждое из выражений в квадрат и вычесть удвоенное их произведение. В данном случае (a – 3)^2 = a^2 – 6a + 9.
b) Для разложения квадрата суммы (a + b)^2 нужно возвести каждое выражение в квадрат и сложить их, а также удвоить их произведение. В данном примере (2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2.
c) Для разложения произведения двух скобок (5v – 4x)(5v + 4x) нужно применить формулу разности квадратов (a – b)(a + b) = a^2 – b^2. В данном случае получаем 25v^2 – (4x)^2 = 25v^2 – 16x^2.

2) a) Чтобы упростить выражение 4a(a – 2) – (a – 4)^2, нужно раскрыть скобки, упростить и сократить подобные слагаемые. Получаем 4a^2 – 8a – (a^2 – 8a + 16) = 4a^2 – 8a – a^2 + 8a – 16 = 3a^2 – 16.

b) Для упрощения выражения 2(v + 1)^2 – 4v нужно раскрыть скобки и сократить подобные слагаемые. Получаем 2(v^2 + 2v + 1) – 4v = 2v^2 + 4v + 2 – 4v = 2v^2 + 2.

3) a) Для разложения разности квадратов x^2 – 25 применяем формулу (a^2 – b^2) = (a – b)(a + b). Поэтому x^2 – 25 = (x – 5)(x + 5).
b) Для факторизации выражения av^2 – ac^2 можно вынести общий множитель и получить a(v^2 – c^2). Таким образом, выражение факторизуется как a(v – c)(v + c).
c) Для факторизации выражения –3a^2 – 6av – 3av^2 можно вынести общий множитель –3a и получить –3a(a + 2v + v^2). Таким образом, выражение факторизуется как –3a(a + 2v + v^2).

4) Чтобы упростить выражение (y^2 – 2y)^2 – y^2(y + 3)(y – 3) + 2y(2y^2 + 5), нужно раскрыть скобки и упростить. Получаем y^4 – 4y^3 + 4y^2 – y^4 + 9y^3 – 9y^2 + 2y^3 + 5y = 6y^3 – 4y^2 + 5y.

5) a) Для факторизации выражения 25a^2 – (a + 3)^2 можно применить формулу разности квадратов и получить (5a + a + 3)(5a – a – 3) = (6a + 3)(4a – 3).
b) Для факторизации выражения 27a^3 + b^3 можно применить формулу суммы кубов и получить (3a + b)(9a^2 – 3ab + b^2).
c) Для факторизации выражения 16x^4 – 81 можно применить формулу разности квадратов и получить (4x^2 + 9)(4x^2 – 9) = (2x + 3)(2x – 3)(2x^2 + 3).
d) Для факторизации выражения x^2 – x можно вынести общий множитель x и получить x(x – 1). Таким образом, выражение факторизуется как x(x – 1).

Совет: Для более легкого понимания и запоминания формул разложения многочленов и упрощения выражений, рекомендуется проработать больше примеров и выполнить практические задания.

Проверочное упражнение: Разложить многочлены:
1) (3x + 2)^2;
2) (4a – 5b)^2;
3) (2m + 1)(2m – 1);
4) 9(x^2 – y^2);
5) (a – b)^3.