1. Решите следующие уравнения, представленные в различных формах: а) 3х2 - х - 2 = 0; б) 5y 2 = 4y; в) х2 - 16

Тема занятия: Решение уравнений и нахождение длин сторон прямоугольника

Решение:

а) Для решения уравнения 3х^2 - х - 2 = 0 воспользуемся квадратным уравнением. Коэффициенты перед x^2, x и свободный член равны, соответственно, 3, -1 и -2. Мы можем использовать формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае a = 3, b = -1 и c = -2. Подставляя эти значения в формулу, получим D = (-1)^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25. Так как D > 0, у уравнения есть два действительных корня. Вычислим их, используя формулу x = (-b ± √D) / (2a). Получаем x_1 = (1 + √25) / 6 и x_2 = (1 - √25) / 6.

б) Решим уравнение 5y^2 = 4y. Для начала приведем его к виду 5y^2 - 4y = 0. Затем вынесем общий множитель y, получим y(5y - 4) = 0. Из этого равенства следует, что y = 0 или 5y - 4 = 0. Решив второе уравнение, найдем значение y: 5y - 4 = 0 => 5y = 4 => y = 4/5.

в) Уравнение х^2 - 16 = 0 является квадратным уравнением с коэффициентами a = 1, b = 0 и c = -16. Дискриминант будет равен D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 * 1 * (-16) = 0 + 64 = 64. Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня: x_1 = (-b + √D) / (2a) и x_2 = (-b - √D) / (2a). Подставляя значения, получаем x_1 = 4 и x_2 = -4.

г) Для решения уравнения х^2 - 34х + 64 = 0 с коэффициентами a = 1, b = -34 и c = 64 воспользуемся формулой дискриминанта. D = (-34)^2 - 4 * 1 * 64 = 1156 - 256 = 900. Поскольку D > 0, уравнение имеет два реальных корня. Вычислим их, используя формулу x = (-b ± √D) / (2a). Получаем x_1 = (34 + 30) / 2 = 32 и x_2 = (34 - 30) / 2 = 2.

Например:
1. Решите уравнение: 3х^2 - х - 2 = 0.
2. Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 82 см, а площадь равна 420 см^2.
3. В уравнении х^2 + px + 5 = 0 один из корней равен 1. Найдите другой корень и коэффициент p.

Совет: При решении квадратных уравнений всегда проверяйте корни, подставляя их в исходное уравнение, чтобы убедиться в их правильности. При нахождении длин сторон прямоугольника используйте формулы для периметра и площади, а также знание о связи длин сторон прямоугольника с его периметром и площадью.

Практика: Найдите корни уравнения 2x^2 + 7x - 30 = 0.

Решение уравнений:

а) Чтобы решить уравнение 3х^2 - х - 2 = 0, мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение. Попробуем факторизацию:

3х^2 - х - 2 = 0

(3х + 2)(х - 1) = 0

Итак, мы получили два возможных значения для x: x = -2/3 и x = 1.

б) Для уравнения 5y^2 = 4y мы сначала приведем его квадратную форму:

5y^2 - 4y = 0

y(5y - 4) = 0

Итак, у нас два возможных значения для y: y = 0 и y = 4/5.

в) Для уравнения x^2 - 16 = 0, мы также можем использовать факторизацию:

(x + 4)(x - 4) = 0

Итак, у нас два возможных значения для x: x = -4 и x = 4.

г) Для уравнения x^2 - 34x + 64 = 0, мы также можем использовать факторизацию:

(x - 4)(x - 16) = 0

Итак, у нас два возможных значения для x: x = 4 и x = 16.

Определение длин сторон прямоугольника:

Пусть x и y - длины сторон прямоугольника. У нас есть два уравнения:

2x + 2y = 82
xy = 420

Мы можем использовать систему уравнений, чтобы решить эту задачу:

2x + 2y = 82
xy = 420

Сначала мы можем решить первое уравнение относительно x:

2x = 82 - 2y
x = (82 - 2y)/2
x = 41 - y

Теперь мы можем подставить это значение x во второе уравнение:

(41 - y)y = 420
41y - y^2 = 420
y^2 - 41y + 420 = 0

Факторизуем это уравнение:
(y - 20)(y - 21) = 0

Итак, y = 20 и y = 21.

Подставим каждое значение y обратно в уравнение x = 41 - y, чтобы найти соответствующие значения x:

Когда y = 20, x = 41 - 20 = 21
Когда y = 21, x = 41 - 21 = 20

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 20 см и 21 см.

Определение другого корня и коэффициента:

Уравнение х^2 + px + 5 = 0 имеет корень x = 1. Чтобы найти другой корень и коэффициент p, мы можем использовать свойство корней квадратного уравнения.

Сумма корней квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

Таким образом, если x = 1 является одним корнем, то сумма корней -p равна -1. Значит, второй корень будет -1 - 1 = -2.

Кроме того, произведение корней равно 5, поэтому p*(-2) = 5. Отсюда p = -5/2.

Таким образом, другой корень равен -2, а коэффициент p равен -5/2.

Задание:
Решите уравнение: 2x^2 + 5x - 3 = 0.