1. Найдите производную следующих функций: 1) f(x) = 8x^(7) - x^9/9 + πx^3 - 1; 3) f(x) = (x^3 - 1)/x; 2) f(x)

Содержание вопроса: Производная функции и касательная к графику функции

1. Производная функции:
1) f(x) = 8x^(7) - (x^9/9) + πx^3 - 1:
Для нахождения производной данной функции, нужно найти производную каждого слагаемого:
f"(x) = (8 * 7)x^(7-1) - (1/9)(x^9)" + π * (3x^3)" - 0 (константа):
f"(x) = 56x^6 - (1/9) * 9x^8 + 3πx^2:
f"(x) = 56x^6 - x^8 + 3πx^2.

2) f(x) = (4x - 5)√x:
Применим правило производной для произведения функций:
f"(x) = (4x - 5) * (1/2x^(1/2)) + (√x) * 4:
f"(x) = (4x - 5)/2x^(1/2) + 4√x.

3) f(x) = (x^3 - 1)/x:
f"(x) = [(x)(3x^2) - (x^3 - 1)(1)]/x^2:
f"(x) = (3x^3 - x^3 + 1)/x^2:
f"(x) = (2x^3 + 1)/x^2.

4) f(x) = 〖tg〗³⁴x:
Применим правило производной для композиции функций:
f"(x) = 3(〖tg〗⁴x)² * (tg⁴x)":
Дифференцируем тангенс через правило производной для тангенса:
f"(x) = 3(〖tg〗⁴x)² * (4sec²x * tg³x):
f"(x) = 12(〖tg〗⁴x)(sec²x * tg³x).

2. Уравнение касательной:
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x₀:
y - f(x₀) = f"(x₀)(x - x₀).

Для функции f(x) = 2x^3 + 2x, найдем f"(x):
f"(x) = 3(2x^3)² + 2:
f"(x) = 6x² + 2.

Теперь найдем значения f(x₀) и f"(x₀) в точке x₀ = -1:
f(-1) = 2(-1)³ + 2(-1) = -2,
f"(-1) = 6(-1)² + 2 = 4.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x^3 + 2x в точке с абсциссой x₀ = -1 будет:
y - (-2) = 4(x - (-1)).

3. Скорость движения материальной точки:
Чтобы найти скорость движения материальной точки по координатной прямой в момент времени t, нужно найти производную функции перемещения s(t) по времени t (ds/dt).

4. Уравнение касательной:
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀, если эта касательная параллельна прямой y = mx + b:
Уравнение касательной будет иметь вид y = f"(x₀)x + c, где c - некоторая константа.

Для функции f(x) = x^2 - 5x + 3, найдем f"(x):
f"(x) = 2x - 5.

Так как касательная параллельна прямой y = 3x, коэффициент перед x в уравнении касательной должен быть равен 3. Тогда:
y = 3x + c.

Узнаем значение c, подставив в уравнение точку касания (x₀, f(x₀)). Пусть данная точка имеет координаты (x₁, y₁):
y₁ = 3x₁ + c.

Так как касательная проходит через точку (x₁, f(x₁)), координаты которой мы знаем:
f(x₁) = x₁^2 - 5x₁ + 3.

Теперь составим систему уравнений и найдем ее решение:
{y₁ = 3x₁ + c,
f(x₁) = x₁^2 - 5x₁ + 3}.

Таким образом, решив систему уравнений, найдем значение c и уравнение касательной.