1. Проанализируйте монотонность и экстремумы функции y = 3x^4 – 16x^3 + 24x^2 – 11. 2. Проверьте монотонность

Тема вопроса: Монотонность и экстремумы функций

Объяснение:
Для анализа монотонности и экстремумов функции, необходимо произвести действия, представленные ниже:

1. Для определения монотонности функции, найдем ее производную.
a. Для функции y = 3x^4 – 16x^3 + 24x^2 – 11, возьмем производную, получим: y" = 12x^3 – 48x^2 + 48x.

2. Найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками.
a. Для функции y" = 12x^3 – 48x^2 + 48x, найдем x, при которых y" = 0.
b. Подставим найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

3. Анализируем знак производной между критическими точками.
a. Разобьем ось x на интервалы, используя критические точки.
b. Возьмем точку из каждого интервала и определим знак производной (положительный или отрицательный).
c. Если производная положительна на интервале, функция монотонно возрастает. Если производная отрицательна на интервале, функция монотонно убывает.

4. Определение экстремумов.
a. Если производная меняет знак с плюса на минус, то в соответствующей точке функция имеет локальный максимум.
b. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в соответствующей точке функция имеет локальный минимум.

Пример:
Задача 1:
Дана функция: y = 3x^4 – 16x^3 + 24x^2 – 11.
1. Находим производную функции: y" = 12x^3 – 48x^2 + 48x.
2. Находим критические точки, приравнивая y" к нулю: 12x^3 – 48x^2 + 48x = 0.
3. Получим критические точки: x = 0, x = 2, x = 1.
4. Анализируем знак производной на интервалах:
a. При x < 0, y" < 0, функция монотонно убывает.
b. При 0 < x < 1, y" > 0, функция монотонно возрастает.
c. При 1 < x < 2, y" < 0, функция монотонно убывает.
d. При x > 2, y" > 0, функция монотонно возрастает.
5. Получаем:
a. В точке x = 1 функция имеет локальный минимум.
b. В остальных точках нет экстремумов.

Совет:
Для лучшего понимания и запоминания принципа поиска монотонности и экстремумов функции, рекомендуется регулярно решать задачи из этой области и тренироваться в вычислении производных функций.

Ещё задача:
Проанализируйте монотонность и экстремумы функции y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 7.