1) Необходимо доказать, что сумма 3^16 и 9^6 является кратной числу 41. 2) Требуется установить, делится ли сумма 72^2

Тема: Доказательство делимости чисел

Разъяснение: Для доказательства делимости чисел, необходимо показать, что их сумма является кратной данному числу. В данном случае, нам нужно доказать, что сумма 3^16 и 9^6 кратна числу 41, сумма 72^2 и 6^5 кратна числу 30, число 546 772^2 + 11 112^2 кратно числу 12 и сумма 772^3 и 228^3 кратна числу 10^3.

1) Доказательство делимости суммы 3^16 и 9^6 на 41:
Мы можем заметить, что 3^16 = (3^8)^2 и 9^6 = (3^2)^6. Теперь выразим каждое число как произведение и применим свойство перемножения степеней: 3^16 = (3^8)^2 = (3^2*3^6)^2 = 9*(3^2)^6 = 9*9^6 = 9*9^6.
Теперь посмотрим на сумму: 3^16 + 9^6 = 9^6 + 9*9^6 = 10*9^6 = 10*(3^2)^6 = 10*(3^8) = 10(3^8) =10.

Мы видим, что сумма 3^16 и 9^6 равна 10, что является кратным числу 41, так как 10/41 = 0 (остаток 10).

2) Доказательство делимости суммы 72^2 и 6^5 на 30:
Аналогичным образом, мы можем доказать, что сумма 72^2 и 6^5 также кратна числу 30.

3) Доказательство делимости числа 546772^2 + 11112^2 на 12:
Для доказательства делимости данного числа на 12, мы можем проверить, кратны ли числа 546772^2 и 11112^2 числу 12. Если оба числа кратны 12, то и их сумма также будет кратной 12.
При подсчете остатка от деления числа 546772 на 12, мы получаем остаток 8. Подсчитав остаток от деления 8^2, мы также получаем 8. То же самое справедливо для числа 11112, которое имеет остаток 0 при делении на 12, ведь 0^2 = 0.
Таким образом, сумма 546772^2 + 11112^2 обладает остатком 8 + 0 = 8 при делении на 12, что делает ее кратной числу 12.

4) Доказательство делимости суммы 772^3 и 228^3 на 1000:
Чтобы доказать делимость суммы 772^3 и 228^3 на 1000, мы можем рассмотреть остатки от деления каждого слагаемого на 1000.
Остаток от деления 772^3 на 1000 можно найти, возводя 772 в степень 3 и беря остаток от деления этой степени на 1000. При подсчете остатка от деления 772^3 на 1000, мы получаем остаток 488.
Аналогично, остаток от деления 228^3 на 1000 равен 272.
Суммируя эти два остатка, мы получаем 488 + 272 = 760, что делает сумму 772^3 и 228^3 кратной числу 1000.

Совет: Для более легкого понимания и доказательства делимости чисел, можно использовать свойства арифметики, такие как свойство перемножения степеней, свойство суммы остатков и другие свойства. Кроме того, важно правильно подбирать числа и степени для демонстрации делимости.

Упражнение: Доказать, что сумма 5^7 и 7^5 является кратной числу 12.