1) Найти точки экстремума функции f(x)=x^3-5x^2+7x+1. 2) Найти интервалы, на которых функция возрастает. 3) Найти

Содержание: Анализ функций

Инструкция: Для решения данной задачи нам необходимо проанализировать функцию f(x)=x^3-5x^2+7x+1 и найти её точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, а также точки локального максимума и минимума.

1) Для поиска точек экстремума найдем производную функции f(x): f"(x)=3x^2-10x+7. Затем приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение: 3x^2-10x+7=0. Решив это уравнение, получим значения x: x1=1 и x2=7/3. Теперь подставим найденные значения x обратно в изначальную функцию f(x), чтобы найти соответствующие значения y: f(1)=-2 и f(7/3)=10/27. Таким образом, точки экстремума функции f(x) - это (1, -2) и (7/3, 10/27).

2) Для нахождения интервалов возрастания функции проанализируем знак производной функции f"(x). Мы уже вычислили f"(x)=3x^2-10x+7. Для нахождения интервалов возрастания нужно определить, когда производная положительна. Решим неравенство f"(x)>0: 3x^2-10x+7>0. Получим два интервала: (-∞, 1) и (7/3, +∞).

3) Для нахождения интервалов убывания функции проанализируем знак производной функции f"(x). Если производная отрицательна, то функция убывает. Решим неравенство f"(x)<0: 3x^2-10x+7<0. Получим один интервал: (1, 7/3).

4) Чтобы найти точки локального максимума функции, мы уже вычислили точки экстремума. Точка локального максимума - это (7/3, 10/27).

5) Чтобы найти точки локального минимума функции, мы уже вычислили точки экстремума. Точка локального минимума - это (1, -2).

Например:
1) Точки экстремума функции f(x)=x^3-5x^2+7x+1 равны (1, -2) и (7/3, 10/27).
2) Интервалы возрастания функции f(x)=x^3-5x^2+7x+1 - это (-∞, 1) и (7/3, +∞).
3) Интервалы убывания функции f(x)=x^3-5x^2+7x+1 - это (1, 7/3).
4) Точка локального максимума функции f(x)=x^3-5x^2+7x+1 - это (7/3, 10/27).
5) Точка локального минимума функции f(x)=x^3-5x^2+7x+1 - это (1, -2).

Совет: Для более полного понимания и освоения анализа функций, рекомендую изучить основные свойства производных функций и методы нахождения их экстремумов. Также полезно практиковаться в решении различных задач на анализ функций.

Проверочное упражнение: Найдите точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, а также точки локального максимума и минимума функции g(x)=2x^3-9x^2+12x+4.