1. Найдите значение f(–3) и нули функции для данной функции f(x) = 4x–1. 2. Постройте график функции y= (x – 3)2 –

1. Найдите значение f(–3) и нули функции для данной функции f(x) = 4x–1.
- Решение:
Для нахождения значения f(-3) в функции f(x) = 4x-1, подставим -3 вместо x:
f(-3) = 4(-3) - 1 = -12 - 1 = -13

Нули функции - это значения x, при которых f(x) равно нулю.
Для нахождения нулей функции f(x) = 4x-1, приравняем f(x) к нулю и решим уравнение:
4x - 1 = 0
4x = 1
x = 1/4

Таким образом, значение f(-3) равно -13, а нули функции - это x = 1/4.

2. Постройте график функции y = (x – 3)² – 2 и определите интервалы возрастания и убывания функции.
- Решение:
Для построения графика функции y = (x - 3)² - 2, можно использовать следующую таблицу значений:
|x | y |
|----|-----|
| 0 | 7 |
| 1 | 4 |
| 2 | 1 |
| 3 | -2 |
| 4 | 1 |
| 5 | 4 |
| 6 | 7 |

Используя эти значения, мы можем построить график, который будет иметь форму параболы, открытой вверх.

Интервалы возрастания и убывания функции определяются с помощью второй производной функции. В данном случае, производная функции равна: y" = 2(x - 3).

Анализируя знак производной, мы можем сказать, что функция возрастает на интервале (3, +∞) и убывает на интервале (-∞, 3).

3. Решите следующие уравнения:
а) 3х² - х³ = 0
- Решение:
Для решения данного уравнения, перепишем его в виде:
x³ - 3x² = 0
x²(x - 3) = 0

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 0 и x₂ = 3.

б) x⁴ - 7x² + 12 = 0
- Решение:
Для решения данного уравнения, можно представить его в виде квадратного уравнения относительно x²:
(x² - 3)(x² - 4) = 0

Решим полученное уравнение:
x² - 3 = 0
x² = 3
x = ±√3

x² - 4 = 0
x² = 4
x = ±2

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: x₁ = -2, x₂ = -√3, x₃ = √3, x₄ = 2.

4. Решите следующие неравенства:
а) (x+2)(x-1)(x-4) > 0
- Решение:
Для решения данного неравенства, мы должны выяснить, какие значения x удовлетворяют условию.

Сначала найдем значения x, при которых выражение (x+2)(x-1)(x-4) равно нулю:
x+2 = 0 => x = -2
x-1 = 0 => x = 1
x-4 = 0 => x = 4

Теперь рассмотрим полученные значения x, а также значения между ними.
Выберем по одной точке из каждого интервала (меньше -2, между -2 и 1, между 1 и 4, и больше 4) и подставим их в исходное неравенство. Получим следующую таблицу:
| x | (x+2)(x-1)(x-4) |
|---|-----------------|
|-3 | - |
| 0 | + |
| 2 | - |
| 5 | + |

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, -2) объединенный с (1, 4) и его запирающими скобками.

б) x² - 14x + 24 ≤ 0
- Решение:
Для решения данного неравенства, мы должны выяснить, какие значения x удовлетворяют условию.

Сначала найдем значения x, при которых выражение x² - 14x + 24 равно нулю, так как они будут разделять интервалы:
x² - 14x + 24 = 0
(x - 2)(x - 12) = 0

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 2 и x₂ = 12.

Рассмотрим знак выражения x² - 14x + 24 на трех интервалах: (-∞, 2), (2, 12), (12, +∞).
Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство. Получим следующую таблицу:
| x | x² - 14x + 24 |
|---|--------------|
|-1 | + |
| 3 | - |
| 15| + |

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, 2] объединенный с [12, +∞).

Пожалуйста, запишите свои решения