1) Найдите восьмой элемент и сумму первых восьми элементов арифметической прогрессии (а), если а = 1, а2

Арифметическая прогрессия

Пояснение: Арифметическая прогрессия (АП) - это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему элементу одного и того же числа - шага (d).

1) Для нахождения восьмого элемента арифметической прогрессии (а) сначала найдем шаг (d):
d = а2 - а1 = 4 - 1 = 3

Теперь мы можем найти восьмой элемент, используя формулу:
а8 = а1 + (8 - 1) * d

Вставляем известные значения:
а8 = 1 + 7 * 3 = 1 + 21 = 22

Также, чтобы найти сумму первых восьми элементов, используем формулу:
S8 = (n/2) * (а1 + аn)

Вставляем известные значения:
S8 = (8/2) * (1 + 22) = 4 * 23 = 92

2) Для нахождения четвертого элемента геометрической прогрессии (b1) сначала найдем знаменатель (q), который в данном случае равен 3:
b4 = b1 * q^(4-1)

Вставляем известные значения:
b4 = 3 * 3^(4-1) = 3 * 3^3 = 3 * 27 = 81

Чтобы найти сумму первых пяти элементов, используем формулу:
S5 = b1 * (q^n - 1) / (q - 1)

Вставляем известные значения:
S5 = 3 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 3 * (243 - 1) / 2 = 3 * 242 / 2 = 363

3) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии сначала нужно проверить, является ли модуль знаменателя (q) меньше единицы:
|q| < 1

В данном случае модуль знаменателя (|q|) равен 1/2, что меньше 1, поэтому сумма бесконечной геометрической прогрессии существует и вычисляется по формуле:
S∞ = a1 / (1 - q)

Вставляем известные значения:
S∞ = 64 / (1 - 1/2) = 64 / (1/2) = 64 * 2 = 128

4) Для нахождения индекса элемента арифметической прогрессии (а), равного 3,6, используем формулу:
n = (а - а1) / d + 1

Вставляем известные значения:
n = (3.6 - 2) / 0.2 + 1 = 16

5) Чтобы найти два числа, которые нужно вставить между числами 8 и -64, чтобы все числа вместе образовали геометрическую прогрессию, нужно найти знаменатель (q):
q = (следующее число) / (предыдущее число)

Вставляем известные значения:
q = -64 / 8 = -8

Теперь мы можем найти два числа, используя формулу:
следующее число = (предыдущее число) * q

Вставляем известные значения:
первое число = 8 * (-8) = -64
второе число = -64 * (-8) = 512

Числа, которые нужно вставить между 8 и -64, чтобы все числа вместе образовали геометрическую прогрессию: -64, 512.

6) Чтобы найти значение х, при котором выражения 3х-2, х+2 и х+8 будут последовательными, нужно установить равенство:
3х-2 = х+2 = х+8

Решим систему уравнений:
3х-2 = х+2 => 2х = 4 => х = 2

Значение х, при котором выражения 3х-2, х+2 и х+8 будут последовательными, равно 2.

Совет: Для лучшего понимания арифметической и геометрической прогрессий, рекомендуется научиться использовать формулы для нахождения n-го элемента и суммы элементов, а также основные свойства каждого типа прогрессии.

Задание:
Для арифметической прогрессии с первым элементом а1 = 5 и шагом d = 3, найдите четвертый элемент и сумму первых пяти элементов. Для геометрической прогрессии с первым элементом b1 = 2 и знаменателем q = -2, найдите шестой элемент и сумму первых шести элементов.