1. Найдите производные функций f(x) в следующих случаях: a) f(x) = 6x^10-1; б) f(x) = 12x^7 + 17x^3; в) f(x) = 11x^6

Производные функций:

a) Для функции f(x) = 6x^10-1 найдем производную. Используя правило дифференцирования степенной функции (a*x^n)' = a*n*x^(n-1), получаем:
f'(x) = 10 * 6 * x^(10-1) = 60x^9.

б) Для функции f(x) = 12x^7 + 17x^3:
f'(x) = 7 * 12 * x^(7-1) + 3 * 17 * x^(3-1) = 84x^6 + 51x^2.

в) Для функции f(x) = 11x^6 + 5x - 24 - 2x^3:
f'(x) = 6 * 11 * x^(6-1) + 1 - 3 * 2 * x^(3-1) = 66x^5 + 5 - 6x^2.

г) Для функции f(x) = (3x-14)∙(3x^2 + 5):
f'(x) = (3x^2 + 5) * 3 + (3x-14) * 6x = 9x^2 + 15 + 18x^2 - 84x = 27x^2 - 84x + 15.

д) Для функции f(x) = -3sin(5x-6) + 12x^2:
f'(x) = -3 * (5cos(5x-6)) + 2 * 12x = -15cos(5x-6) + 24x.

e), ж), з) Для функций, которые заданы в виде hello_html_64e23fe3.gif, hello_html_m686a99b7.gif и hello_html_4b3d9826.gif, невозможно вычислить производную, так как они не представляют собой математические функции.

Вычисление производных функций и их значений:

a) Для функции f(x) = (3x - 2)^7:
f'(x) = 7(3x - 2)^6 * 3 = 21(3x - 2)^6.
При x = 1: f'(1) = 21(3 - 2)^6 = 21 * 1^6 = 21.
При x = 0: f'(0) = 21(0 - 2)^6 = 21 * (-2)^6 = 21 * 64 = 1344.

б) Для функции f(x) = (6 - 4x)^11:
f'(x) = 11(6 - 4x)^10 * (-4) = -44(6 - 4x)^10.
При x = 1: f'(1) = -44(6 - 4 * 1)^10 = -44(6 - 4)^10 = -44(2)^10 = -44 * 1024 = -45056.
При x = 0: f'(0) = -44(6 - 4 * 0)^10 = -44(6 - 0)^10 = -44(6)^10 = -44 * 60466176 = -266884864.

в) Для функции hello_html_25a29f9.gif невозможно вычислить производную, так как она не представляет собой математическую функцию.

Расчет силы тела:

Для расчета силы тела с массой 63 кг, движущегося прямолинейно по закону S(x) = 25x - 2x^2, применимо уравнение второго закона Ньютона F = m * a, где F - сила, m - масса, а - ускорение.

Ускорение можно найти, взяв вторую производную функции S(x):
S'(x) = 25 - 4x.

Производная S'(x) является ускорением a.

Теперь можем рассчитать силу F:
F = m * a = 63 * (25 - 4x).

Упражнение: Найдите производные функций:
a) f(x) = 2x^3 - 3x + 5;
б) f(x) = 4e^x + 7sin(x);
в) f(x) = ln(2x^2 + 3x + 1);
г) f(x) = cos^2(x) - sin^2(x).