Первообразная функции и определенный интеграл
№1. Найдите первообразную функции f(x) = 2x2+x, график которой проходит через точку А(1;2). №2. Вычислите следующий
№1. Найдите первообразную функции f(x) = 2x2+x, график которой проходит через точку А(1;2).
№2. Вычислите следующий интеграл: а) ∫_0^1〖(2x^2 〗-2) dx б) ∫_(-π )^π〖sin 3x〗 dx.
№3. Определите площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: а) параболой у=(х+1)2, прямыми х=-2 и х= 1 и осью Ох. б) графиком функции у=4/х при х>0, параболой у = -х2+ 4х+1.
№2. Вычислите следующий интеграл: а) ∫_0^1〖(2x^2 〗-2) dx б) ∫_(-π )^π〖sin 3x〗 dx.
№3. Определите площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: а) параболой у=(х+1)2, прямыми х=-2 и х= 1 и осью Ох. б) графиком функции у=4/х при х>0, параболой у = -х2+ 4х+1.
24.12.2023 16:29
Написать свой ответ:
Инструкция:
№1. Чтобы найти первообразную функции f(x), нужно интегрировать функцию f(x). В данном случае, функция f(x) = 2x^2 + x. Для интегрирования каждого члена функции, нужно увеличить степень каждого члена на 1, а затем разделить на новую степень. Интеграл от x^n равен (1/(n+1)) * x^(n+1), где n ≠ -1. Применяя это к нашей функции, получаем:
∫(2x^2 + x) dx = (2/3) * x^3 + (1/2) * x^2 + C, где C - постоянная интегрирования.
№2. Для вычисления определенного интеграла ∫[a,b] f(x) dx, нужно найти первообразную функции f(x), а затем вычислить разность значений первообразной функции в точках a и b. Применяя это к задаче:
а) ∫_0^1 (2x^2 - 2) dx = [(2/3) * x^3 - 2x]_0^1 = [(2/3) * 1^3 - 2 * 1] - [(2/3) * 0^3 - 2 * 0] = (2/3) - 2 = -4/3.
б) ∫_(-π )^π sin(3x) dx = [-(1/3) * cos(3x)]_(-π )^π = [-(1/3) * cos(3π )] - [-(1/3) * cos(-3π )] = [-(1/3) * cos(3π )] - [-(1/3) * cos(3π )] = 0.
№3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, нужно найти интеграл разности функций, задающих эти кривые, на заданном интервале. В данном случае:
а) Площадь = ∫_(-2)^1 [(x+1)^2] dx = [(1/3) * (x+1)^3]_(-2)^1 = [(1/3) * 2^3] - [(1/3) * (-1)^3] = 8/3 - (-2/3) = 10/3.
б) Площадь = ∫_0^∞ [(4/x) - (-x^2 + 4x + 1)] dx = ∫_0^∞ [(4/x) + (x^2 - 4x - 1)] dx = [4 * ln|x| + (1/3) * x^3 - 2x^2 - x]_0^∞ = (4 * ln|∞| + (1/3) * ∞^3 - 2∞^2 - ∞) - (4 * ln|0| + (1/3) * 0^3 - 20 - 0) = -∞.
Пример:
№1. Найдите первообразную функции f(x) = 3x^2 + 2x + 1, проходящую через точку А(2;5).
Совет: При решении задач с интегралами, не забывайте добавлять постоянную интегрирования для получения общего решения.
№2. Вычислите интеграл: а) ∫_0^1 (x^2 + 2x - 3) dx б) ∫_(-π )^π cos(4x) dx.
Совет: Вычисляйте первообразные функций, а затем используйте значения на границах интервала для вычисления определенных интегралов.
№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x^2 - 3x + 2, прямой х = 1 и осью Ох.
Совет: При вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции, обратите внимание на направление и интервалы интегрирования.