1. Найдите область определения функции y=27x−x3. Ответьте на вопрос: Какова область определения функции (если

Содержание вопроса: Анализ функции

Разъяснение: Для функции y=27x−x3 требуется выполнить несколько шагов, чтобы найти область определения, определить, является ли функция четной или нечетной, найти производную, стационарные точки и точки экстремума, а также интервалы монотонности.

1. Область определения функции: Чтобы найти область определения функции, нужно решить уравнение заданной функции относительно x. В этом случае, уравнение 27x−x3=0 можно факторизовать как x(27−x2)=0. Отсюда следует, что x может быть равен 0, 3 или -3. Таким образом, область определения функции - любое значение x, кроме 3 и -3. Область определения записывается как d(f)=(-∞, -3)∪(-3, 3)∪(3, +∞).

2. Четность функции: Для определения является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим, нужно рассмотреть функцию относительно её симметрии. В данном случае, функция y=27x−x3 не является ни четной, ни нечетной, так как не обладает ни осевой, ни центральной симметрией.

3. Первая производная функции: Для нахождения первой производной функции, нужно продифференцировать выражение функции по переменной x. В данном случае, производная функции y=27x−x3 равна y′=27−3x2.

4. Стационарные точки функции: Чтобы найти стационарные точки функции, нужно решить уравнение y′=0. В данном случае, уравнение 27−3x2=0 можно решить как x2=9, откуда следует, что x1=3 и x2=-3.

5. Точки экстремума функции: Чтобы найти точки экстремума, нужно исследовать поведение первой производной функции в окрестности стационарных точек. В данном случае, точки экстремума функции y=27x−x3 соответствуют x1=3 и x2=-3. Чтобы найти значения y в этих точках, нужно подставить их значения в исходное уравнение функции. Таким образом, получаем следующие значения точек экстремума: x1=3, y1=18, x2=-3, y2=-18.

6. Интервалы монотонности функции: Для определения интервалов монотонности функции, нужно исследовать знак первой производной функции в различных интервалах. В данном случае, первая производная y′=27−3x2 всегда положительна при x< -1, отрицательна при -1< x < 1 и снова положительна при x > 1. Следовательно, функция возрастает на интервалах (-∞, -3), (-1, 1) и (3, +∞), и убывает на интервалах (-3, -1) и (1, 3).

Совет: Для лучшего понимания функции, можно построить её график, отобразив все полученные результаты их анализа на графике. Это поможет визуализировать поведение функции в различных точках и интервалах.

Задача для проверки: Определите область определения, является ли функция четной, нечетной или без указанных свойств, найдите первую производную, стационарные точки и точки экстремума функции для y=5x^2+3x. Укажите интервалы монотонности функции.

Содержание вопроса: Анализ функций

Объяснение:

1. Чтобы найти область определения функции y=27x−x^3, нужно учесть, что функция определена для всех значений x, которые не приводят к делению на ноль или извлечению корня отрицательного числа. В данном случае, функция может быть определена для любого x в действительных числах. Область определения можно записать как d(f) = (-∞, +∞).

2. Чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим, нужно проверить, выполняется ли равенство f(x) = f(-x). В данном случае, подставив -x вместо x, получаем y = 27(-x) - (-x)^3. Упрощая, получаем y = -27x + x^3. Равенство f(x) = f(-x) не выполняется, поэтому функция является ни четной, ни нечетной.

3. Производная функции y=27x−x^3 равна y" = 27 - 3x^2.

4. Чтобы найти стационарные точки функции, нужно решить уравнение y" = 0. В данном случае, получаем уравнение 27 - 3x^2 = 0. Решая его, получаем x = ±√9 = ±3. Таким образом, стационарные точки функции равны x1,2 = ±3.

5. Чтобы найти точки экстремума функции, нужно подставить найденные стационарные точки в изначальную функцию y=27x−x^3. При подстановке x = -3, получаем y = -27(-3) - (-3)^3 = -54 - (-27) = -54 + 27 = -27. При подстановке x = 3, получаем y = -27(3) - (3)^3 = -81 - 27 = -108. Таким образом, точки экстремума функции равны xmin = -3, ymin = -27, xmax = 3, ymax = -108.

6. Чтобы указать интервалы монотонности функции, нужно анализировать знак производной функции y". В данном случае, производная y" = 27 - 3x^2 является отрицательной для x < -√9 и положительной для -√9 < x < √9. Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, -3) и возрастает на интервале (-3, 3).

Пример:
1. Найти область определения функции y = 27x - x^3.
2. Определить, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим.
3. Записать первую производную заданной функции y = 27x - x^3.
4. Найти стационарные точки функции.
5. Найти точки экстремума функции.
6. Указать интервалы монотонности функции.

Совет: Чтобы легче понять анализ функций, рекомендуется изучить свойства четных и нечетных функций, а также понятие производной и ее графическое представление.

Проверочное упражнение:
1. Найдите область определения функции y = 4x^2 - 9.
2. Определите, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим.
3. Запишите первую производную заданной функции.
4. Найдите стационарные точки функции.
5. Найдите точки экстремума функции.
6. Укажите интервалы монотонности функции.