1. Найдите двенадцатый член и сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (an), если первый член равен

Арифметическая прогрессия:
Задача 1:
Пояснение: Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа d к предыдущему члену. Чтобы найти двенадцатый член арифметической прогрессии, нужно использовать формулу an = a1 + (n - 1)d, где a1 - первый член, d - разность между членами, n - номер члена. В данном случае, a1 = 3 и d = 7 - 3 = 4. Теперь подставим значения в формулу: a12 = 3 + (12 - 1) * 4 = 3 + 11 * 4 = 3 + 44 = 47. Таким образом, двенадцатый член равен 47. Чтобы найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, используем формулу Sn = (n/2) * (a1 + an), где n - количество членов, a1 - первый член, an - последний член. Подставим значения: S12 = (12/2) * (3 + 47) = 6 * 50 = 300. Сумма первых двенадцати членов арифметической прогрессии равна 300.
Пример использования: Найдите двенадцатый член и сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а второй член равен 7.

Задача 2:
Пояснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель). Чтобы найти седьмой член геометрической прогрессии, нужно использовать формулу bn = b1 * q^(n-1), где b1 - первый член, q - знаменатель, n - номер члена. В данном случае, b1 = -1 и q = 2. Подставим значения: b7 = -1 * 2^(7-1) = -1 * 2^6 = -1 * 64 = -64. Таким образом, седьмой член геометрической прогрессии равен -64. Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, используем формулу Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q), где b1 - первый член, q - знаменатель, n - количество членов суммы. Подставим значения: S6 = -1 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = -1 * (1 - 64) / -1 = -1 * (-63) = 63. Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 63.
Пример использования: Найдите седьмой член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если первый член равен отрицательному значению, а знаменатель равен 2.

Задача 3:
Пояснение: Бесконечная геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель). Для определения суммы бесконечной геометрической прогрессии, нужно использовать формулу Sn = a1 / (1 - q), где a1 - первый член, q - знаменатель. В данном случае, a1 = 27 и q = -9/27 = -1/3. Подставим значения: S = 27 / (1 - (-1/3)) = 27 / (4/3) = 27 * (3/4) = 81/4. Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 81/4.
Пример использования: Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 27, -9, 3, ...

Задача 4:
Пояснение: Чтобы найти номер члена арифметической прогрессии (an), который равен 6.4, нужно использовать формулу n = (an - a1) / d + 1, где an - член арифметической прогрессии, a1 - первый член, d - разность между членами. В данном случае, an = 6.4, a1 = 3.6 и d = 0.4. Подставим значения: n = (6.4 - 3.6) / 0.4 + 1 = 2.8 / 0.4 + 1 = 7 + 1 = 8. Таким образом, номер члена арифметической прогрессии, который равен 6.4, равен 8.
Пример использования: Найдите номер члена арифметической прогрессии, который равен 6.4, если первый член равен 3.6, а разность равна 0.4.

Задача 5:
Пояснение: Чтобы найти два числа, которые необходимо вставить между числами 2 и -54, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию, нужно использовать формулу an = a1 + (n - 1)d, где an - член арифметической прогрессии, a1 - первый член, d - разность между членами, n - номер члена. В данном случае, a1 = 2 и an = -54, нужно найти d и n. Подставим значения: -54 = 2 + (n - 1)d. Таким образом, у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Нам нужно еще одно уравнение для решения системы.