Между числами 81 и 256 вставьте 3 таких числа, чтобы они вместе образовали арифметическую прогрессию. Найдите седьмой

Арифметическая прогрессия:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается добавлением одного и того же числа (шага) к предыдущему члену. Для того чтобы найти пропущенные числа между 81 и 256 в арифметической прогрессии, мы должны вычислить шаг данной прогрессии.

Разница между двумя последовательными членами арифметической прогрессии вычисляется по формуле d = (a2 - a1), где a1 и a2 - это первые два члена последовательности. В данном случае a1 = 81, a2 = 256.

Теперь, вычисляя разницу, получим d = (256 - 81) = 175.

Так как нам нужно вставить 3 числа, чтобы получить арифметическую прогрессию, мы просто добавим шаг (175) к последнему известному числу 256, три раза.

Вставленные числа будут:
256 + 175 = 431
431 + 175 = 606
606 + 175 = 781

Таким образом, вставленные числа, образующие арифметическую прогрессию, между 81 и 256, будут 431, 606 и 781.

Нахождение 7-го члена последовательности:
Для нахождения 7-го члена последовательности bn=5*2ⁿ⁺¹, мы подставляем n = 7 в формулу и вычисляем.

b7 = 5 * 2⁷⁺¹ = 5 * 2⁸ = 5 * 256 = 1280.

Таким образом, 7-й член последовательности bn=5*2ⁿ⁺¹ равен 1280.

Нахождение суммы первых 7 членов:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле Sn = (n/2)*(a1 + an), где Sn - сумма, n - количество членов, a1 - первый член, an - последний член.

Чтобы найти сумму первых 7 членов s7, мы подставляем значение n = 7 и вычисляем.

s7 = (7/2)*(a1 + a7).

Первый член a1 = 81.
Седьмой член a7 = 1280.

Теперь вычислим:

s7 = (7/2)*(81 + 1280) = (7/2)*1361 = 23847.5.

Таким образом, сумма первых 7 членов s7 равна 23847.5.

Дополнительное упражнение:
Найдите сумму первых 10 членов последовательности bn=3n-1.

Арифметическая прогрессия:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Для нахождения пропущенных чисел в арифметической прогрессии мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n-1)d,

где an - n-ый член последовательности, a1 - первый член последовательности, n - номер члена последовательности, d - разность между последовательными членами.

Решение:
У нас даны числа 81 и 256, которые должны быть частью арифметической прогрессии. Чтобы найти пропущенные числа, мы должны найти разность d между числами. Разность d можно найти, вычтя первый член из второго члена и поделив на количество пропущенных чисел плюс один:

d = (256 - 81) / (3 + 1) = 175 / 4 = 43.75.

Таким образом, разность d между числами равна 43.75. Чтобы найти пропущенные числа в прогрессии, мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

a(n) = a1 + (n-1)d.

Мы можем подставить значения: a1 = 81, d = 43.75 и n = 2, 3, 4, чтобы найти пропущенные числа в арифметической прогрессии:

a2 = 81 + (2-1) * 43.75 = 81 + 43.75 = 124.75,
a3 = 81 + (3-1) * 43.75 = 81 + 87.5 = 168.5,
a4 = 81 + (4-1) * 43.75 = 81 + 131.25 = 212.25.

Таким образом, пропущенные числа равны 124.75, 168.5 и 212.25 соответственно.

Нахождение седьмого члена последовательности:
У нас дана формула для n-ого члена последовательности: bn = 5 * 2^(n+1). Чтобы найти седьмой член последовательности, мы можем подставить n = 7 в формулу:

b7 = 5 * 2^(7+1) = 5 * 2^8 = 5 * 256 = 1280.

Таким образом, седьмой член последовательности равен 1280.

Нахождение суммы первых семи членов последовательности:
Сумма первых семи членов последовательности может быть найдена с использованием формулы суммы арифметической прогрессии:

S(n) = (n/2)[2a + (n-1)d],

где S(n) - сумма первых n членов последовательности, a - первый член последовательности, d - разность между последовательными членами.

Мы можем подставить значения: n = 7, a = 81 и d = 43.75, чтобы найти сумму первых семи членов последовательности:

S7 = (7/2)[2 * 81 + (7-1) * 43.75] = (7/2)[162 + 6 * 43.75] = (7/2)[162 + 262.5] = (7/2)[424.5] = 7 * 212.25 = 1485.75.

Таким образом, сумма первых семи членов последовательности равна 1485.75.