1. На каком интервале определена функция y=(9x)/(9+x^2)? Запиши область определения функции (в случае бесконечности

1. Тема: Область определения функции

Инструкция: Функция y=(9x)/(9+x^2) определена на интервале, где знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль запрещено. Решим неравенство 9 + x^2 ≠ 0, чтобы найти область определения.

Вычитаем 9 из обеих частей неравенства: x^2 ≠ -9.
Так как x^2 - это всегда неотрицательное число, то x^2 ≠ -9 всегда выполняется для всех x.

Таким образом, область определения функции y=(9x)/(9+x^2) равна (от минус бесконечности до плюс бесконечности), обозначается как D(f) = (-∞; +∞).

Дополнительный материал: Найди область определения функции y = (5x)/(x^2 + 7).

Совет: Чтобы найти область определения функции, необходимо решить неравенство, где знаменатель не равен нулю.

Задание: Найди область определения функции y = (2x)/(x^2 - 4).

1. Область определения функции:

Функция y=(9x)/(9+x^2) будет определена на всех действительных числах, кроме тех, для которых x^2 = -9. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, у нас нет решений для этого условия. Значит, область определения функции является всем множеством действительных чисел.

D(f) = (-∞; +∞)

2. График функции:

Для построения графика функции y=(9x)/(9+x^2), мы можем использовать таблицу значений или ряд значений x и соответствующих значений y. В результате, мы получим следующий график:

(здесь должен быть изображен график функции)

3. Горизонтальная асимптота:

При анализе функции y=(9x)/(9+x^2), мы можем заметить, что при x стремящемся к положительной или отрицательной бесконечности, функция будет стремиться к значению 0. Поэтому прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика данной функции.

y=0

4. Производная функции:

Для нахождения производной функции y=(9x)/(9+x^2), мы воспользуемся правилом дифференцирования частного функций. В результате, получим:

y" = (9(9+x^2) - 9x(2x))/(9+x^2)^2

y" = (81 + 9x^2 - 18x^2)/(9+x^2)^2

y" = (81 - 9x^2)/(9+x^2)^2

y" = (81 - 9x^2)/(9+x^2)^2

5. Стационарные точки:

Стационарные точки - это значения x, при которых производная функции равна нулю. Для нашей функции, мы можем найти эти значения, приравняв y" к нулю и решив уравнение:

(81 - 9x^2)/(9+x^2)^2 = 0

81 - 9x^2 = 0

9x^2 = 81

x^2 = 9

x1,2 = ±3

x1,2 = ±3

6. Точки экстремума:

Точки экстремума - это значения x, при которых производная функции меняет знак на противоположный. Для нашей функции, мы можем найти эти значения, анализируя изменение знака производной на интервалах до точек стационарных значений и после них. В результате, мы получаем следующие точки экстремума:

xmax = 3, xmin = -3

xmax = 3, xmin = -3

7. Промежутки монотонности функции:

Для определения промежутков монотонности функции, мы анализируем знак производной функции в различных интервалах между точками экстремума и на бесконечностях. В результате, мы получаем следующие промежутки монотонности:

(-∞, -3) и (3, +∞)

В этих интервалах функция возрастает, так как производная отрицательна.

(здесь должен быть предоставлен ответ в виде упорядоченных интервалов монотонности)