Делимость
1. Докажите, что число а будет кратно m, если a = 20^3 + 58^4 + 77^2 + 16, m = 19. 2. Докажите, что число а будет
1. Докажите, что число а будет кратно m, если a = 20^3 + 58^4 + 77^2 + 16, m = 19.
2. Докажите, что число а будет кратно p при любых натуральных m и n, если a = (3m + 5n + 2)^7 * (5m + 9n + 5)^6, p = 64.
3. Пусть a, b - целые числа. Докажите, что если число c кратно m, то и число d будет кратно m, если c = 5a + 3b, m = 11, d = 7a + 2b.
4. Найдите все целые числа, которые при делении на m и n дают остатки r1 и r2 соответственно, если m = 15, n = 24, r1 = 8, r2 = 9.
5. Докажите, что число а будет кратно 3 при любом n, если a = 7n^3 + 32n + 10^4 + 8.
6. Найдите остаток от деления числа а на 10, если a = 4^7 + 26.
8. Определите, делится ли число на 11.
2. Докажите, что число а будет кратно p при любых натуральных m и n, если a = (3m + 5n + 2)^7 * (5m + 9n + 5)^6, p = 64.
3. Пусть a, b - целые числа. Докажите, что если число c кратно m, то и число d будет кратно m, если c = 5a + 3b, m = 11, d = 7a + 2b.
4. Найдите все целые числа, которые при делении на m и n дают остатки r1 и r2 соответственно, если m = 15, n = 24, r1 = 8, r2 = 9.
5. Докажите, что число а будет кратно 3 при любом n, если a = 7n^3 + 32n + 10^4 + 8.
6. Найдите остаток от деления числа а на 10, если a = 4^7 + 26.
8. Определите, делится ли число на 11.
11.12.2023 11:52
Написать свой ответ:
Объяснение: Чтобы показать, что число а будет кратно m, нужно доказать, что а при делении на m дает ноль в остатке. Для этого мы выразим а в виде соответствующего выражения и проверим деление с использованием арифметических операций. Ответы на каждый вопрос дают решение:
1. Прежде всего, выразим а в виде суммы степеней чисел: а = 20^3 + 58^4 + 77^2 + 16. Затем проверим, делится ли а на m без остатка. Для этого вычислим а по модулю m (а % m) и проверим, равно ли это нулю. В данном случае, если (а % m) = 0, то a будет кратно m.
2. В данном случае, выразим а в виде произведения двух выражений: а = (3m + 5n + 2)^7 * (5m + 9n + 5)^6. Затем проверим, делится ли а на p без остатка. Для этого вычислим а по модулю p (а % p) и проверим, равно ли это нулю. В данном случае, если (а % p) = 0, то a будет кратно p при любом натуральном m и n.
3. Для доказательства этого утверждения, выразим c и d в виде линейных комбинаций чисел a, b соответственно. Затем проверим, делится ли c на m без остатка, и если это так, то докажем, что d также будет кратно m. Вычислим значения c и d модулю m и проверим их на равенство нулю. Если (c % m) = 0 и (d % m) = 0, то число d будет кратно m.
4. Для нахождения всех целых чисел, удовлетворяющих условию, мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Это позволяет нам решить систему уравнений: x ≡ r1 (mod m) и x ≡ r2 (mod n), где x - искомое число. Решив эту систему, мы найдем все целые числа, которые дают указанные остатки при делении на m и n.
5. В данном случае, мы выразим а в виде алгебраического выражения, содержащего n. Затем проверим, делится ли а на 3 без остатка. Для этого вычислим а по модулю 3 (а % 3) и проверим, равно ли это нулю. В данном случае, если (а % 3) = 0, то а будет кратно 3 при любом n.
6. Чтобы найти остаток от деления а на 10, просто вычислим а по модулю 10 (а % 10). Остаток будет числом, оставшимся после деления а на 10.
Пример использования:
1. Докажите, что число 187065 будет кратно 19.
2. Докажите, что число 12284 будет кратно 64.
3. Пусть a = 13, b = 9. Докажите, что если число 68 кратно 11, то и число 107 будет кратно 11.
4. Найдите все целые числа, которые при делении на 15 и 24 дают остатки 8 и 9 соответственно.
5. Докажите, что число 4538 будет кратно 3 при любом n.
6. Найдите остаток от деления числа 237 на 10.
Совет: Чтобы успешно решать подобные задачи на делимость, помните основные свойства делимости чисел и используйте арифметические операции для доказательства или решения. Запомните также формулу для нахождения остатка от деления числа нацело.
Упражнение: Докажите, что число 6847 будет кратно 17.