1.а) What is the length of the circumference with a radius of 7cm? б) Find the area of the circular sector

Содержание: Окружность и ее свойства

Разъяснение:
1. а) Длина окружности вычисляется по формуле `C = 2πr`, где `C` - длина окружности, `r` - радиус окружности. В данном случае, радиус `r = 7 см`, поэтому длина окружности равна `C = 2π * 7 = 14π см` или примерно `43.98 см`.
1. б) Площадь сектора окружности можно найти по формуле `S = (θ/360°) * πr^2`, где `S` - площадь сектора, `θ` - мера дуги в градусах, `r` - радиус окружности. В данном случае, `θ = 120°`, `r = 12 см`, поэтому площадь сектора равна `S = (120/360) * π * (12)^2 см^2` или примерно `150.8 см^2`.
1. в) Мера дуги окружности выражается формулой `θ = (s/r) * 180°/π`, где `θ` - мера дуги в градусах, `s` - длина дуги, `r` - радиус окружности. В данном случае, `s = 3π`, `r = 8`, поэтому мера дуги равна `θ = (3π/8) * 180°/π` или примерно `67.5°`.

2. Для нахождения длины окружности и площади окружности, охватывающей прямоугольник, необходимо знать длины его сторон. По условию, стороны прямоугольника равны `10 см` и `24 см`. Если прямоугольник полностью вписан в окружность, то диагональ прямоугольника равна диаметру окружности. Следовательно, диаметр окружности равен наибольшей стороне прямоугольника, то есть `d = 24 см`. Для нахождения длины окружности используется формула `C = 2πr`, в данном случае `r = d/2 = 12 см`, получаем длину окружности `C = 2π * 12 = 24π см` или примерно `75.4 см`. Площадь окружности вычисляется по формуле `S = πr^2`, где `r = d/2 = 12 см`, следовательно, площадь окружности равна `S = π * 12^2 = 144π см^2` или примерно `452.16 см^2`.

3. Для нахождения площади окружности и длины окружности, охватывающей равносторонний треугольник, необходимо знать длину его стороны. По условию, сторона треугольника равна `5 см`. Если равносторонний треугольник полностью вписан в окружность, то каждая сторона треугольника равна диаметру окружности. Следовательно, диаметр окружности равен `d = 5 см`. Для нахождения длины окружности используется формула `C = 2πr`, в данном случае `r = d/2 = 2.5 см`, получаем длину окружности `C = 2π * 2.5 = 5π см` или примерно `15.7 см`. Площадь окружности вычисляется по формуле `S = πr^2`, где `r = d/2 = 2.5 см`, следовательно, площадь окружности равна `S = π * 2.5^2 = 6.25π см^2` или примерно `19.6 см^2`.

Доп. материал:
1. а) Для нахождения длины окружности с радиусом 7 см, мы используем формулу `C = 2πr`. Подставив значения, получим `C = 2π * 7 = 14π см`, что примерно равно 43.98 см.
1. б) Для нахождения площади сектора окружности, нам известна мера дуги (θ) 120 градусов и радиус (r) 12 см. Мы используем формулу `S = (θ/360) * π * r^2`. Подставив значения, получим `S = (120/360) * π * 12^2 см^2`, что примерно равно 150.8 см^2.
1. в) Чтобы найти меру дуги окружности, если длина дуги равна 3π, а радиус равен 8, мы используем формулу `θ = (s/r) * 180°/π`. Подставив значения, получим `θ = (3π/8) * 180°/π`, что примерно равно 67.5°.

Совет: При работе с окружностями и их свойствами, полезно запомнить формулы для вычисления длины окружности (`C = 2πr`), площади сектора окружности (`S = (θ/360°) * πr^2`) и меры дуги окружности (`θ = (s/r) * 180°/π`), где `C` - длина окружности, `r` - радиус окружности, `S` - площадь сектора окружности, `θ` - мера дуги в градусах, `s` - длина дуги окружности.

Задание для закрепления: Найдите длину окружности с радиусом 5 см. Найдите площадь сектора окружности, если мера дуги равна 60 градусам, а радиус окружности равен 9 см. Найдите меру дуги окружности, если длина окружности равна 4π см, а радиус окружности равен 6 см. Найдите длину окружности, охватывающей равносторонний треугольник со стороной 7 см. Найдите площадь окружности, охватывающей прямоугольник с длиной 8 см и шириной 15 см.

Тема занятия: Геометрия окружности

Пояснение:
1.а) Длина окружности рассчитывается с использованием формулы L = 2πr, где L - длина окружности, а r - радиус. Подставляя значение радиуса 7см в формулу, получаем L = 2π(7) ≈ 44см.

1.б) Площадь сектора окружности рассчитывается с использованием формулы A = (θ/360) * πr^2, где A - площадь сектора, θ - мера дуги в градусах, r - радиус. Подставляя значение θ = 120° и r = 12см в формулу, получаем A = (120/360) * π(12)^2 ≈ 150.8см^2.

1.в) Длина дуги окружности рассчитывается с использованием формулы L = θr, где L - длина дуги, θ - мера дуги в радианах, r - радиус. Подставляя значение L = 3π и r = 8 в формулу, получаем 3π = θ(8), откуда θ ≈ 3/8 радиан.

2. Для нахождения длины окружности и площади окружности, описывающей прямоугольник, необходимо найти диагональ прямоугольника, которая является диаметром окружности. По теореме Пифагора, диагональ прямоугольника равна √(10^2 + 24^2) ≈ 26.91см. Следовательно, длина окружности равна 2πr ≈ 2π(26.91/2) ≈ 53.8см, а площадь окружности равна A = πr^2 ≈ π(26.91/2)^2 ≈ 226.98см^2.

3. Для нахождения площади окружности и длины ее окружности, описывающей правильный треугольник, необходимо найти радиус окружности, равный половине длины стороны треугольника. Поэтому радиус r = 5/2см = 2.5см. Так как правильный треугольник делится на три равнобедренных треугольника, можно использовать формулу площади равнобедренного треугольника A = (b*h) / 2, где b - длина основания, h - высота. Высота треугольника равна a*(√3/2), где a - длина стороны. Подставляя значения в формулу, получаем A = (5/2 * 2.5 * (√3/2)) / 2 ≈ 6.45см^2. Радиус окружности равен половине длины стороны треугольника, следовательно, длина окружности L = 2πr ≈ 2π(2.5) ≈ 15.7см.

4. Описание этой задачи отсутствует. Пожалуйста, предоставьте более подробную информацию, чтобы я мог помочь вам.

Совет:
- Запомните формулы для расчета окружности и ее сектора, а также связи между радиусом, длиной окружности и площадью.
- Регулярно тренируйтесь на решении подобных задач, чтобы стать более уверенным в решении геометрических задач окружности.

Задание для закрепления: Найдите длину окружности, площадь сектора и меру дуги для окружности с радиусом 9см и мерой дуги 60°.