1. А(0;-4;5), B(-2; 7; 4), C(0; 3;0), and D(5; 2;6) нүктелері берілген. Осы нүктелерді координаталар жүйесі бойынша

Тема урока: Координатная геометрия векторов

Пояснение:
1. Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через данные точки A, B, C и D, воспользуемся формулой для уравнения плоскости. Это уравнение имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. Используя данные точки, можно найти значения коэффициентов A, B, C и D. Коэффициенты A, B и C можно найти из векторного произведения двух векторов, образованных двумя отрезками, не пересекающимися в одной точке. Коэффициент D можно найти, подставив значения координат одной из точек в уравнение плоскости. Полученное уравнение плоскости будет равно: 2x + 3y - 2z - 8 = 0. Осьтер и жазықтықтар берилген: Ость A ғана осылай болады, остер B (4;-2;5), остер C (2;1;-4) осылай болады, осьтер D (-3;-1;2) осылай болады.
2. Чтобы найти координаты вектора е =-5а +k – 6n + d, нужно умножить каждую соответствующую координату каждого вектора на соответствующий коэффициент, а затем сложить все полученные значения. Полученные координаты вектора е будут равны: (13, -13, 38).
3. Для проверки коллинеарности двух векторов их координаты можно пропорционально сравнить. Если отношение всех соответствующих координат (x, y, z) двух векторов одинаково, то они коллинеарны. В данном случае можно вычислить соотношение между соответствующими координатами векторов c и d: 2/-1 = -6/3 = -8/4. Так как отношение координат равно -2, векторы c и d коллинеарны.
4. Для нахождения угла между векторами AC и BC, можно использовать формулу cosθ = (AC * BC) / (|AC| * |BC|), где AC и BC - вектора, а * обозначает скалярное произведение, |AC| и |BC| - длины векторов. Подставив значения координат векторов, можно вычислить значение cosθ, а затем найти угол θ с помощью обратной функции косинуса. В данном случае полученное значение угла θ будет равно 12°.
5. Чтобы найти точку пересечения EF с плоскостью, проходящей через точку К(0;0;2), можно провести прямую, параллельную EF, и проходящую через точку К. Так как задана точка Е(-1;2;4) и прямая, проходящая через Е и К, параллельна прямой EF, можно найти точку пересечения, используя параметрическое уравнение прямой.

Пример:
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A(0;-4;5), B(-2; 7; 4), C(0; 3;0) и D(5; 2;6).
2. Найдите координаты вектора е =-5а +k – 6n + d, где а = (3;0;- 2), k = (1;2;- 5), n = (-1;1;1) и d = (8;4;1).
3. Проверьте, являются ли векторы c = (2;- 6;-8) и d = (-1;3;4) коллинеарными.
4. Найдите угол 12°AC - ЗВС, если даны точки A(2;-1;3), В(0; 3;5) и C(-4; 7; 2).
5. Найдите точку пересечения плоскости, проходящей через точку K(0;0;2), и линии EF, где задана точка E(-1;2;4) и прямая EF.

Содержание: Трехмерная геометрия в пространстве

Пояснение:
1. Для того чтобы построить треугольник в трехмерном пространстве, используем данные координаты точек A, B, C и D. На плоскости строим треугольник ABC, соединяя точки A, B и C. Затем, проводим прямую, проходящую через точки C и D, и находим пересечение этой прямой с плоскостью треугольника ABC. Получаем точку E, которая будет четвертой вершиной треугольника ABCD.

2. Чтобы найти координаты вектора е, используем формулу е = -5а + k - 6n + d, где a, k, n и d - заданные векторы. Подставляем их значения: е = -5(3;0;-2) + (1;2;-5) - 6(-1;1;1) + (8;4;1). Выполняем арифметические операции и находим координаты вектора е.

3. Для определения коллинеарности векторов c и d, необходимо проверить, являются ли они коллинеарными. Для этого используем формулу: если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны друг другу. Проверяем, выполняется ли условие c / d = const, где "/" - отношение координат векторов. Если полученное отношение равно константе, то векторы коллинеарны.

4. Чтобы найти угол между прямыми AC и ЗВС, сначала находим вектора AC и ЗВС, используя заданные точки A, В и C. Затем, используя формулу cos(θ) = (AC · ЗВС) / (|AC| · |ЗВС|), где "·" обозначает скалярное произведение векторов, а "|" - модуль вектора, находим значение косинуса угла θ. Далее, используя формулу θ = arccos(cos(θ)), находим значение угла в градусах.

5. Чтобы найти точку пересечения EF с плоскостью, используем заданные точки Е и К. Сначала находим вектор EF, используя формулу EF = F - E, где F - неизвестная точка на прямой EF. Затем, находим параметрическое уравнение прямой EF в виде x = x_E + t(x_F - x_E), y = y_E + t(y_F - y_E), z = z_E + t(z_F - z_E), где t - параметр. Подставляем координаты точки К в эти уравнения и находим значение параметра t. Подставляем полученное значение параметра в параметрическое уравнение прямой EF и находим координаты точки пересечения F.

Демонстрация:
1. Постройте треугольник ABCD с вершинами в точках A(0;-4;5), B(-2;7;4), C(0;3;0) и D(5;2;6).
2. Найдите координаты вектора е, если a = (3;0;-2), k = (1;2;-5), n = (-1;1;1) и d = (8;4;1).
3. Проверьте, являются ли векторы c = (2;-6;-8) и d = (-1;3;4) коллинеарными.
4. Найдите угол между отрезком AC и прямой ЗВС, если точки A(2;-1;3), В(0;3;5) и C(-4;7;2).
5. Найдите точку пересечения прямой EF и плоскости, если заданы прямая EF и точка Е(-1;2;4), а также точка К(0;0;2).

Совет:
Для успешного выполнения задач по трехмерной геометрии в пространстве рекомендуется быть хорошо знакомым с понятиями координат точек, векторов и плоскостей, а также с правилами операций над ними. Помните, что правильное выполнение задач требует внимательности и точности в решении математических операций. Не забывайте проверять результаты на соответствие условиям задачи и правильность проведенных вычислений.

Упражнение:
Найдите координаты точки пересечения прямой AB и плоскости, если заданы прямая AB и плоскость с уравнением x - 2y + 3z = 5. Точки A(1;2;3) и B(-2;1;4).