Закрашен ли весь прямоугольник, если он разделен на 8 равных частей и каждая последующая часть, начиная с половины

Тема: Площадь прямоугольника

Пояснение:
Для решения задачи о площади прямоугольника, разделенного на 8 равных частей, нам необходимо выяснить, закрашен ли весь прямоугольник. Для начала давайте представим, что площадь всего прямоугольника равна 1 (можно считать единичным квадратом). Каждая последующая часть будет закрашена сокращенным на половину объемом от предыдущей.

1/2 часть будет закрашена с объемом 1/2;
1/4 часть будет закрашена с объемом 1/4;
1/8 часть будет закрашена с объемом 1/8;
и т.д.

Таким образом, каждая последующая часть становится все меньше и меньше.

Если мы будем складывать объемы всех закрашенных частей, мы получим ряд, который можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S = a / (1 - r), где a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В данном случае, a = 1/2 и r = 1/2. Подставляя значения в формулу, мы получаем S = (1/2) / (1 - 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1.

Таким образом, сумма всех закрашенных частей равна 1. Это говорит о том, что весь прямоугольник будет полностью закрашен.

Демонстрация:
Закрашен весь прямоугольник.

Совет:
Чтобы лучше понять концепцию площади и геометрических прогрессий, рекомендуется изучить основы алгебры и геометрии. Также полезно ознакомиться с теорией о задачах на сумму геометрической прогрессии.

Практика:
Предположим, что прямоугольник разделен на 6 равных частей, и каждая последующая часть, начиная с третьей, закрашивается сокращенным на треть объемом от предыдущей. Закрашен ли весь прямоугольник? (Ответ: нет)