Задание 14. Сколько существует натуральных делителей числа 15 в 9-ой степени, каждый из которых является или квадратом

Задание 14.
Для решения этой задачи, мы должны разложить число 15 в его простые множители: 3 и 5. Затем мы возведем каждый из этих простых множителей в 9-ю степень. Так как мы ищем делители, которые являются как квадратами, так и кубами, нам нужно найти пересечение множества квадратных и кубических делителей числа.

Для того чтобы число было одновременно квадратом и кубом, должно выполняться следующее условие: делитель числа должен быть степенью 6, так как 6 является НОК чисел 2 (степень для квадратов) и 3 (степень для кубов).

У нас есть два простых множителя числа 15: 3 и 5. Если мы возьмем их 6-ю степень, то получим числа 729 и 15 625. Поскольку мы ищем только натуральные делители, нам нужно вычислить количество делителей этих чисел.

Количество делителей числа 729 равно 9, так как он имеет 3 делителя. Количество делителей числа 15 625 равно 12, так как он имеет 6 делителей. Поскольку мы ищем делители, которые одновременно являются квадратами и кубами, мы должны вычесть 1 из каждого количества, чтобы не учитывать само число 729 или 15 625.

Итак, общее количество делителей числа 15 в 9-й степени, которые являются и квадратами, и кубами одновременно, равно 8.

Задание 15.
Чтобы создать клетчатую фигуру, у которой периметр превышает площадь в 7/6 раза, нам нужно подобрать соответствующие размеры сторон.

Пусть сторона клетки равна n.
Тогда периметр фигуры будет равен 4n (4 стороны клеток), а площадь будет равна n^2 (число клеток).

Условие задачи говорит нам, что периметр должен превышать площадь в 7/6 раза. Это можно записать в виде неравенства: 4n > (7/6)n^2.

Чтобы найти соответствующие значения n, нам нужно решить это неравенство.

Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от дроби: 24n > 7n^2.

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение: 7n^2 - 24n < 0.

Теперь найдем его корни. Решив это уравнение, мы найдем две точки - 0 и 24/7 (или около того), и они разделяют наше множество состояний на три интервала: отрицательные значения, значения между 0 и 24/7 и значения больше 24/7.

Решения этого уравнения нам не нужны, так как нам нужны только натуральные значения n. Также мы знаем, что n должно быть положительным числом.

Таким образом, мы можем выбрать любое натуральное значение n, большее (24/7), чтобы площадь фигуры была меньше периметра в 7/6 раз.

Доп. материал: Для задания 15, возьмем n = 4. Тогда периметр будет равен 16 (4 клетки) и площадь будет равна 16 (16 клеток). Периметр превышает площадь в 7/6 раза (16 * 7/6 = 18 2/3), что соответствует условию задачи.

Совет: Чтобы лучше понять задачу 15, можно нарисовать несколько клетчатых фигур с разными n и проверить соотношение периметра и площади. Это поможет визуализировать, как изменяются параметры фигуры и как они влияют на отношение периметра и площади.

Задание: Найдите количество натуральных делителей числа 27 в 5-й степени, каждый из которых является и квадратом и кубом одновременно.