Задачи в декартовых координатах №1 Какие координаты имеют точки деления отрезка, концы которого расположены в А(-4;2

Задачи в декартовых координатах

Разъяснение:
№1
Чтобы найти координаты точек деления отрезка, нужно использовать формулу для нахождения координаты точки деления отрезка (x, y) в отношении m:n.
Пусть точка деления отрезка АВ, с координатами (x, y), делит отрезок АВ на четыре части в отношении m:n. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
x = (n * x1 + m * x2) / (m + n)
y = (n * y1 + m * y2) / (m + n)
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка АВ.
Подставим известные значения в формулу:
x = (1 * (-4) + 3 * 8) / (3 + 1) = ( -4 + 24 ) / 4 = 20 / 4 = 5
y = (1 * 2 + 3 * (-4)) / (3 + 1) = ( 2 - 12 ) / 4 = -10 / 4 = -2.5
Таким образом, точка деления отрезка АВ находится в координатах (5;-2.5).

№2
Для определения координат вершин треугольника АВС, если известны координаты его серединных точек, мы можем использовать формулу для нахождения координаты вершины треугольника на основе координат середины отрезка.
Пусть точка К, с координатами (xk, yk), является серединной точкой стороны AB соответственно.
Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
x = 2 * xk - xa
y = 2 * yk - ya
где (xa, ya) - координаты точки A.
Аналогично, для точек N и M.
Подставим известные значения в формулу:
Для точки A:
x = 2 * (-4) - 1 = -8 - 1 = -9
y = 2 * 2 - 6 = 4 - 6 = -2
Точка A имеет координаты (-9, -2).
Аналогичным образом подставляем в формулу координаты для точек B и C.
Таким образом, координаты вершин треугольника АВС: A(-9, -2), B(1, 6), C(-3, 2).

Для определения длины медианы АК, мы можем использовать формулу для нахождения длины отрезка между двумя точками.
Формула для нахождения длины отрезка AB выглядит так:
AB = sqrt((xb - xa) ^ 2 + (yb - ya) ^ 2)
где (xa, ya) и (xb, yb) - координаты точек A и B соответственно.
Подставим известные значения в формулу:
AK = sqrt((-4 - (-9)) ^ 2 + (2 - (-2)) ^ 2) = sqrt(5 ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt(25 + 16) = sqrt(41)
Таким образом, длина медианы АК равна sqrt(41).

№3
Чтобы найти координаты остальных вершин параллелограмма, используем свойство параллелограмма, что диагонали его делятся пополам.
Пусть точка К, с координатами (xk, yk), является точкой пересечения диагоналей. Тогда середина AB, точка М, будет иметь координаты (xm, ym), равные средним значениям координат точек А и В.
Формула для нахождения координат середины отрезка AB выглядит следующим образом:
xm = (xa + xb) / 2
ym = (ya + yb) / 2
где (xa, ya) и (xb, yb) - координаты точек А и В.
Подставим известные значения в формулу:
xm = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0
ym = (2 + 5) / 2 = 7 / 2 = 3.5
Таким образом, середина AB имеет координаты (0, 3.5).
Аналогично, найти координаты середины CD, используя координаты точек C и D.
С помощью свойства параллелограмма, что диагонали его делятся пополам, найдем координаты вершины D:
Мы знаем, что KD = MC, поэтому мы можем использовать формулу для нахождения координаты вершины D, аналогичную формуле для нахождения координаты вершины C:
xd = 2 * xm - xc
yd = 2 * ym - yc
где (xc, yc) - координаты точки C.
Подставим известные значения в формулу:
xd = 2 * 0 - 2 = -2
yd = 2 * 3.5 - 2 = 4
Таким образом, координаты точек C и D будут C(2, 5) и D(-2, 4).

№4
1) Чтобы найти координаты четвертой вершины параллелограмма, нужно использовать свойство параллелограмма, что диагонали его делятся пополам.
Пусть точка А, с координатами (xa, ya), и точка В, с координатами (xb, yb), являются смежными вершинами параллелограмма. Тогда середина диагонали AC будет иметь координаты (xm, ym), равные средним значениям координат точек А и С.
Формула для нахождения координат середины отрезка AC выглядит следующим образом:

xm = (xa + xc) / 2
ym = (ya + yc) / 2
где (xc, yc) - координаты точки C.

Аналогично, используем формулу для нахождения координат середины отрезка BD:
xn = (xb + xd) / 2
yn = (yb + yd) / 2
где (xd, yd) - координаты точки D.

С помощью этих формул найдем координаты вершин C и D:
xm = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0
ym = (2 + 5) / 2 = 7 / 2 = 3.5
xn = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0
yn = (5 + 4) / 2 = 9 / 2 = 4.5
Таким образом, координаты вершин C и D будут C(0, 3.5) и D(0, 4.5).

Совет:
Прежде чем решать задачу в декартовых координатах, важно визуализировать ситуацию и представить ее на координатной плоскости. Это поможет лучше понять взаимное расположение точек и сделать процесс решения более интуитивным.

Задача для проверки:
Дан параллелограмм ABCD. Координаты вершины A(-1,3), B(4,5), C(6,1). Найдите координаты вершины D.

Задачи в декартовых координатах

Задача 1
Для нахождения координат точек деления отрезка, нужно воспользоваться формулой для нахождения координат точки деления в пропорции. Пусть отрезок AB делится на 4 части, тогда необходимо найти координаты точек деления отрезка на отрезки длиной одну четверть и три четверти от исходного отрезка.

Для нахождения координат точки деления отрезка, можно воспользоваться следующей формулой:
X = X1 + (X2 - X1) * k
Y = Y1 + (Y2 - Y1) * k

где X1 и Y1 - координаты начальной точки отрезка A, X2 и Y2 - координаты конечной точки отрезка B, k - пропорция, определяющая долю отрезка.

Для первого четверти:
k = 1/4
X1 = -4, Y1 = 2
X2 = 8, Y2 = -4
Подставив в формулу, получим:
X = -4 + (8 - (-4)) * 1/4 = -4 + 3 * 3 = -4 + 9 = 5
Y = 2 + (-4 - 2) * 1/4 = 2 - 6 * 1/4 = 2 - 1.5 = 0.5

Для второй четверти:
k = 2/4
X1 = -4, Y1 = 2
X2 = 8, Y2 = -4
Подставив в формулу, получим:
X = -4 + (8 - (-4)) * 2/4 = -4 + 3 * 2 = -4 + 6 = 2
Y = 2 + (-4 - 2) * 2/4 = 2 - 6 * 2/4 = 2 - 3 = -1

Для третьей четверти:
k = 3/4
X1 = -4, Y1 = 2
X2 = 8, Y2 = -4
Подставив в формулу, получим:
X = -4 + (8 - (-4)) * 3/4 = -4 + 3 * 3 = -4 + 9 = 5
Y = 2 + (-4 - 2) * 3/4 = 2 - 6 * 3/4 = 2 - 4.5 = -2.5

Таким образом, координаты точек деления отрезка AB на 4 равные части:
1) (5, 0.5)
2) (2, -1)
3) (5, -2.5)

Задача 2
Для нахождения координат вершин треугольника ABC, если известны координаты середин его сторон, можно воспользоваться формулой для нахождения координат точки деления отрезка. Пусть A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3) - вершины треугольника ABC, а K(xk, yk), N(xn, yn) и M(xm, ym) - координаты середин сторон AB, BC и CA соответственно.

Формула для нахождения координат вершин треугольника по серединам его сторон:
x1 = 2 * xn - xk
y1 = 2 * yn - yk

x2 = 2 * xm - xn
y2 = 2 * ym - yn

x3 = 2 * xk - xm
y3 = 2 * yk - ym

Таким образом, координаты вершин треугольника АВС:
1) (2 * 1 - (-4), 2 * 6 - 2) = (6, 10)
2) (2 * (-3) - 1, 2 * 2 - 6) = (-7, -2)
3) (2 * (-4) - (-3), 2 * 2 - 2) = (-5, 2)

Для нахождения длины медианы АК, можно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка по координатам его концов и теоремы Пифагора.

Длина медианы АК:
AK = sqrt((x1 - xk)^2 + (y1 - yk)^2)

Подставив значения, получим:
AK = sqrt((6 - (-4))^2 + (10 - 2)^2) = sqrt(10^2 + 8^2) = sqrt(100 + 64) = sqrt(164) ≈ 12.81

Таким образом, длина медианы АК составляет примерно 12.81.

Задача 3
Чтобы найти координаты остальных вершин параллелограмма, если даны координаты двух смежных вершин A и B, и координаты точки пересечения диагоналей К, можно воспользоваться свойством параллелограмма о равенстве его диагоналей, а также формулой для нахождения середины отрезка.

Для параллелограмма с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) и D(x4, y4) выполняются следующие свойства:
1) Середины диагоналей параллелограмма равны.
2) Диагонали параллелограмма делятся пополам точками пересечения.

Пусть X и Y - середины отрезков AB и CD соответственно. Тогда координаты середин отрезков можно найти по формулам:
x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2

Таким образом, середины отрезков AB и CD:
X( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 )
K( (x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2 )

По свойству параллелограмма, координаты точки K равны координатам точки пересечения диагоналей К.

Таким образом, координаты остальных вершин параллелограмма:
C(x3, y3) = 2 * X - K
D(x4, y4) = 2 * Y - K

Задача 4
Чтобы найти координаты четвертой вершины параллелограмма, если даны координаты трех вершин, можно воспользоваться свойствами параллелограмма о равенстве диагоналей и смежных сторон.

Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) - вершины параллелограмма.

Свойства параллелограмма:
1) Смежные стороны параллелограмма равны.
2) Диагонали параллелограмма равны.

Поэтому для нахождения координат четвертой вершины D, можно воспользоваться следующими формулами:
x4 = x3 + x2 - x1
y4 = y3 + y2 - y1

Таким образом, координаты четвертой вершины параллелограмма:
D(x3 + x2 - x1, y3 + y2 - y1)