Задача №1: У вас есть две параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые

Тема вопроса: Расстояние между параллельными плоскостями

Пояснение:
Чтобы найти расстояние между точками А_1 и В_1, проектируем сторону AB на плоскость β. Полученный отрезок перпендикулярен плоскости β, поэтому его длина будет являться искомым расстоянием между точками А_1 и В_1.

Мы знаем, что плоскости α и β параллельны, поэтому вектор нормали к плоскости α будет также являться вектором нормали к плоскости β. Вектор нормали к плоскости α можно найти как векторное произведение векторов AB и А_1В_1.

Расстояние между точками А и В можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

Пример:
Заданы точки А(2, 3, 4) и В(6, 7, 8). Найти расстояние между точками А_1 и В_1, если параллельные плоскости α и β проходят через эти точки.

Решение:
1. Вычисляем вектор нормали к плоскости α, используя векторное произведение векторов AB и А_1В_1:
Найдем вектор AB = (6-2, 7-3, 8-4) = (4, 4, 4) и вектор А_1В_1 = (6-2, 7-3, 8-4) = (4, 4, 4).
Векторное произведение AB и А_1В_1: (4, 4, 4) × (4, 4, 4) = (0, 0, 0).
Получаем вектор нормали к плоскости α: (0, 0, 0).

2. Рассчитываем расстояние между точками А и В:
d = √((6-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2) = √(16 + 16 + 16) = √48 ≈ 6.93.

Таким образом, расстояние между точками А_1 и В_1 равно 6.93.

Совет: При решении этой задачи помните, что параллельные плоскости имеют одинаковый вектор нормали. Решение включает вычисление векторного произведения и использование формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Проверьте свои вычисления и используйте калькулятор для более точных результатов.

Ещё задача: Заданы точки А(1, 2, 3) и В(4, 5, 6). Найти расстояние между точками А_1 и В_1, если параллельные плоскости α и β проходят через эти точки.