За допомогою векторів продемонструйте, що чотирикутник abcd, з вершинами в точках a (–4; 2; 5), b (–6; 3; 0

Тема занятия: Векторы и параллелограммы

Описание: Чтобы показать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно доказать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Для начала, найдем векторы для каждой из сторон четырехугольника AB, BC, CD и DA, используя формулу вектора:

Вектор AB = Вектор B - Вектор A
= (-6 - (-4); 3 - 2; 0 - 5)
= (-2; 1; -5)

Вектор BC = Вектор C - Вектор B
= (12 - (-6); -8 - 3; 1 - 0)
= (18; -11; 1)

Вектор CD = Вектор D - Вектор C
= (14 - 12; -9 - (-8); 6 - 1)
= (2; -1; 5)

Вектор DA = Вектор A - Вектор D
= (-4 - 14; 2 - (-9); 5 - 6)
= (-18; 11; -1)

Теперь, чтобы показать, что противоположные стороны AB и CD параллельны, мы должны убедиться, что их векторы коллинеарны. Для этого проверим, есть ли между ними постоянное отношение:

(ABx / CDx) = (-2 / 2) = -1
(ABy / CDy) = (1 / -1) = -1
(ABz / CDz) = (-5 / 5) = -1

Так как отношение одинаково для всех координат, то векторы AB и CD коллинеарны и, следовательно, противоположные стороны параллельны.

Точно таким же образом проверяются противоположные стороны AD и BC. Если отношения для этих сторон также будут одинаковыми, то четырехугольник ABCD будет параллелограммом.

Следовательно, используя векторы, мы можем продемонстрировать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Совет: При решении подобных задач по векторам важно правильно вычислить векторы каждой стороны и проверить их коллинеарность.

Дополнительное задание: Даны векторы v = (-3; 2; 1) и u = (4; -1; 5). Проверьте, являются ли противоположными эти векторы или параллельными.