Является ли так, что предел последовательности xₙ равен нулю, учитывая, что последовательность сходится и в любой

Название: Предел последовательности равен нулю

Разъяснение:
Для ответа на данный вопрос нам нужно воспользоваться определением предела последовательности и свойствами сходящихся последовательностей.

Определение предела последовательности говорит, что если xₙ сходится к L, то для любого положительного числа ε существует такой индекс N, начиная с которого каждый член последовательности будет находиться в окрестности L, то есть |xₙ - L| < ε для всех n ≥ N.

В данной задаче предел равен нулю, поэтому нужно проверить, выполняется ли данное свойство для всех окрестностей нуля, то есть для любого выбранного положительного числа ε.

Поскольку задано условие, что последовательность сходится и в любой окрестности нуля содержит бесконечно много членов, это означает, что для любого ε, можно выбрать номер N таким образом, чтобы, начиная с номера N, каждый элемент последовательности xₙ попадал в окрестность нуля.

Таким образом, можно сделать вывод, что предел последовательности xₙ равен нулю, так как для любого ε > 0 найдется такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться в окрестности нуля.

Дополнительный материал:
Пусть xₙ = 1/n. Здесь xₙ сходится к 0, так как при n стремящемся к бесконечности, 1/n стремится к нулю.
Докажем, что предел этой последовательности равен нулю с помощью определения:
Для любого положительного числа ε > 0, нужно найти такой номер N, начиная с которого каждый член последовательности будет меньше ε.
Пусть ε > 0. Выберем N = 1/ε. Тогда для всех n ≥ N, будет выполняться условие |1/n - 0| < ε, так как 1/n < ε.
Таким образом, мы доказали, что предел последовательности 1/n равен нулю.

Совет:
Для лучшего понимания пределов последовательностей, рекомендуется изучить основные свойства пределов, такие как арифметические действия с пределами, установление неравенств, пределы для функций и т.д. Важно также понять определение предела и уметь его применять.

Проверочное упражнение:
Дана последовательность xₙ = 1/n². Является ли предел этой последовательности равным нулю? Пожалуйста, обоснуйте свой ответ.