Який закон руху і миттєва швидкість точки, якщо прискорення a(t)=12t^2+4? Якщо швидкість точки в момент часу t=1с була

Закон руху, миттєва швидкість і прискорення точки

Закон руху описує рух тіла і включає в себе інформацію про миттєву швидкість та прискорення цього тіла. Прискорення може залежати від часу і в цьому випадку ми маємо функцію прискорення a(t)=12t^2+4, де t - час.

Миттєва швидкість точки визначається похідною від функції руху s(t). Щоб знайти функцію швидкості v(t), ми інтегруємо функцію прискорення a(t).

\[v(t)=\int a(t) dt=\int (12t^2+4) dt = 4t^3 + 4t + C\]

де C - константа інтегрування.

Інтегруючи функцію швидкості, отримуємо функцію руху s(t).

\[s(t)=\int v(t) dt=\int (4t^3 + 4t + C) dt = t^4 + 2t^2 + Ct + D\]

де D - ще одна константа інтегрування.

За заданими умовами, швидкість точки в момент часу t=1с дорівнює 10 м/с, тобто v(1)=10. І відстань, яку проходить точка в момент часу t=1с, дорівнює 12 м, тобто s(1)=12. Ми можемо вирішити ці рівняння, підставивши відповідні значення:

\[10 = 4(1)^3 + 4(1) + C\]
\[12 = (1)^4 + 2(1)^2 + C(1) + D\]

Шукаємо значення V(3) і S(3). Підставте значення t=3 в функцію швидкості v(t) та функцію руху s(t), щоб отримати значення.

Приклад використання:
Завдання: Знайти швидкість V(3) та відстань S(3) для точки з прискоренням a(t)=12t^2+4, де швидкість точки в момент часу t=1с дорівнює 10 м/с і відстань, яку проходить точка в момент часу t=1с, дорівнює 12 м.
Порада: Для вирішення задачі, ми маємо інтегрувати функцію прискорення, щоб знайти функцію швидкості, а потім інтегрувати функцію швидкості, щоб знайти функцію руху. Потім можемо використовувати відомі значення, щоб знайти константи C та D.
Вправа: Знайдіть значення швидкості V(3) та відстані S(3) для точки з прискоренням a(t)=12t^2+4, де швидкість точки в момент часу t=1с дорівнює 10 м/с і відстань, яку проходить точка в момент часу t=1с, дорівнює 12 м.

Закон движения и мгновенная скорость точки

Инструкция:
Закон движения точки определяется его ускорением и начальными условиями. Для задачи у нас дано ускорение a(t) = 12t^2 + 4.

Чтобы найти мгновенную скорость V(t) в момент времени t, необходимо проинтегрировать ускорение a(t). Поскольку ускорение является производной скорости, интегрирование даст нам саму скорость.

Итак, проинтегрируем ускорение a(t):
∫(12t^2 + 4) dt = 4t^3 + 4t + C,

где C - постоянная интегрирования.

Также нам дано, что скорость V(t = 1с) = 10 м/с и S(t = 1) = 12 м.

Используя эти начальные условия, мы можем найти значение постоянной C:
4 * 1^3 + 4 * 1 + C = 10,
C + 8 = 10,
C = 2.

Теперь у нас есть уравнение для мгновенной скорости V(t):
V(t) = 4t^3 + 4t + 2.

Чтобы найти значения V(3) и S(3), мы подставляем t = 3 в соответствующие уравнения:
V(3) = 4 * 3^3 + 4 * 3 + 2,
S(3) = ∫[1, 3] V(t) dt.

Выполняя вычисления, мы получаем:
V(3) = 126 м/с,
S(3) = ∫[1, 3] (4t^3 + 4t + 2) dt = 252 м.

Совет:
- Чтение дополнительной литературы и примеров задач по этой теме может помочь вам лучше понять процесс интегрирования и применение физических законов в задачах движения.
- Проверьте свои вычисления и промежуточные ответы, чтобы избежать ошибок при решении подобных задач.

Практика:
Какова будет мгновенная скорость V(t) точки, если ускорение a(t) = 6t^2 + 3? Определите также значение S(2) точки, если V(1) = 8 м/с и S(1) = 10 м.