What is the solution to the equation log base 3 of the negative cosine of x plus log base 1/3 of the negative sine

Тема: Решение логарифмического уравнения

Разъяснение: Дано логарифмическое уравнение: log base 3 от отрицательного косинуса x плюс log base 1/3 от отрицательного синуса x равно -1/2. Нашей задачей является найти x - решение уравнения.

Для начала, мы можем использовать правило логарифма, которое гласит, что log base a от b плюс log base a от c равно log base a от b * c. Используя это правило, мы можем объединить два логарифма в уравнении:

log base 3 от отрицательного косинуса x * log base 1/3 от отрицательного синуса x = -1/2

Далее, мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы избавиться от логарифмов на обеих сторонах уравнения. В данном случае, мы можем применить свойство, согласно которому log base a от b равно c, означает что a в степени c равно b.

Используя это свойство, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

3^(log base 3 от отрицательного косинуса x) * (1/3)^(log base 1/3 от отрицательного синуса x) = 3^(-1/2)

Теперь, мы можем заметить, что 3^(log base 3 от отрицательного косинуса x) равно -косинус x, так как это является обратной функцией логарифма. Аналогично, (1/3)^(log base 1/3 от отрицательного синуса x) равно -синус x.

Используя это замечание, мы можем переписать уравнение без логарифмов:

-косинус x * -синус x = 3^(-1/2)

Продолжая упрощать уравнение, мы получим:

синус x * косинус x = 1/√3

И, наконец, чтобы найти решение x, мы можем взять арксинус от обеих сторон уравнения, что приведет к:

x = arcsin(1/√3) или x = π - arcsin(1/√3), где π - это значение пи (π).

Ответом на данную задачу являются два значения x: x = arcsin(1/√3) и x = π - arcsin(1/√3).

Совет: Для понимания и решения логарифмических уравнений, важно хорошо знать правила логарифмов и свойства экспоненты. Регулярная практика с решением подобных уравнений поможет вам развить навыки и уверенность в этой области.

Задача для проверки: Решите уравнение log base 2 от x + log base 4 от (x - 6) = 3.

Содержание вопроса: Решение уравнений с логарифмами

Инструкция: Для решения данного уравнения, в котором присутствуют логарифмы, мы должны использовать свойства логарифмов и преобразовывать уравнение до тех пор, пока не найдем значение неизвестной переменной.

Сначала применим свойства логарифмов. Запишем данное уравнение:
log₃(-cos(x)) + logₓ̄₁/₃(-sin(x)) = -½

Пользуясь свойством логарифма, можем их объединить в одно выражение, выразив его через произведение:
log₃((-cos(x)) * (-sin(x))) = -½

Далее применим свойство логарифма, согласно которому логарифм произведения равен сумме логарифмов:
log₃(cos(x) * sin(x)) = -½

Мы знаем, что логарифм с основанием равным 3 и экспонентой равной -½ будет равен аргументу логарифма:
cos(x) * sin(x) = 3^(-½)
cos(x) * sin(x) = √(1/3)

На этом этапе мы можем заметить, что косинус и синус любого угла, подчиняющиеся определенному соотношению, делятся между собой:
sin(x) / cos(x) = tan(x)

Получается уравнение:
tan(x) = √(1/3)

Теперь, чтобы найти значения угла, можем применить обратную тангенс функцию к обоим сторонам уравнения:
x = arctan(√(1/3))

Или, используя приближенные значения, мы можем записать ответ как:
x ≈ 0.615 радиан или x ≈ 35.26 градусов

Совет: При решении уравнений с логарифмами, важно применять свойства логарифмов, чтобы преобразовать уравнение в более простую форму. Обратите внимание на основания логарифмов и используйте свойства для объединения выражений и упрощения выражений в логарифмах.

Задание для закрепления: Решите уравнение log₃(x) + log₃(x - 2) = 2. Найдите значения переменной x, округленные до двух десятичных знаков.