What is the solution to the equation 1) (2cos²x+3sinx-3)*log2(√2cosx)=0 [-5n]?

Содержание вопроса: Решение уравнения с тригонометрией и логарифмом

Объяснение:
Для решения уравнения, нужно найти значения переменной x, при которых данное уравнение выполняется. Для начала, приведем уравнение к виду, удобному для работы.

1) (2cos²x+3sinx-3)*log2(√2cosx)=0 [-5n]

Первым шагом раскроем скобки:

2cos²x * log2(√2cosx) + 3sinx * log2(√2cosx) - 3 * log2(√2cosx) = 0

Теперь заметим, что уравнение равно нулю только когда одно из слагаемых равно нулю:

2cos²x * log2(√2cosx) = 0 (уравнение 1)
3sinx * log2(√2cosx) = 0 (уравнение 2)
-3 * log2(√2cosx) = 0 (уравнение 3)

1) Решим уравнение 1:

2cos²x * log2(√2cosx) = 0

Разделим обе части уравнения на 2cos²x и получим:

log2(√2cosx) = 0

Так как логарифм от 0 не имеет значения, то это уравнение не имеет решений.

2) Решим уравнение 2:

3sinx * log2(√2cosx) = 0

Так как произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю, у нас есть две возможности:

a) 3sinx = 0

Решение этого уравнения дает нам значения угла x, для которых sinx = 0.
Такие углы являются кратными π.
То есть x = kπ , где k - целое число.

b) log2(√2cosx) = 0

Так как логарифм равен нулю только тогда, когда основание равно 1, у нас получается уравнение:

√2cosx = 1

Возводя обе части в квадрат, получим:

2cosx = 1

cosx = 1/2

Известно, что cosx = 1/2 при углах π/3 и 5π/3 (или в градусах 60° и 300°).
Таким образом, у нас есть два значения x: x = π/3 + 2πn и x = 5π/3 + 2πn, где n - целое число.

3) Решим уравнение 3:

-3 * log2(√2cosx) = 0

Заметим, что умножение на -3 не влияет на решение уравнения, так как произведение равно 0, независимо от значения log2(√2cosx).
Таким образом, это уравнение не дает нам новых решений.

Совет:
При решении таких уравнений с тригонометрией и логарифмами, важно уметь приводить уравнение к удобному для работы виду. Также полезно обратить внимание на возможные значения тригонометрических функций и ограничения логарифмов.

Закрепляющее упражнение:
Решите уравнение: (3sin²x - 2cosx + 1)log3(√4sinx) = 0 [0n]