What is the area of the region bounded by the graph of the function f(x) = 8 - 0.6x^2, the tangent at the point with

Содержание: Вычисление площади области под кривой

Описание: Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции f(x) = 8 - 0.6x^2, касательной к этой функции в точке с координатой x = -1 и прямой x = 1, мы можем использовать подход к вычислению интегралов.

Сначала найдем точки пересечения графика функции и прямых. Приравняем значение функции к y = 0 и решим это уравнение:

0 = 8 - 0.6x^2
0.6x^2 = 8
x^2 = 8 / 0.6
x^2 = 13.33
x = ±√13.33

Итак, график функции пересекает ось x в точках x = √13.33 и x = -√13.33.

Теперь найдем точку, в которой касательная к функции пересекает прямую x = 1. Для этого найдем производную функции и рассчитаем ее значение при x = -1:

f"(x) = -1.2x
f"(-1) = -1.2(-1) = 1.2

Следовательно, угловой коэффициент касательной к функции в точке (-1, f(-1)) равен 1.2.

Теперь можем найти уравнение касательной, используя точку (-1, f(-1)) и угловой коэффициент 1.2:

y - f(-1) = 1.2(x + 1)

Преобразуем это уравнение:

y - (8 - 0.6(-1)^2) = 1.2(x + 1)
y - (8 - 0.6) = 1.2(x + 1)
y - 7.4 = 1.2(x + 1)
y = 1.2x + 8.6

Видимо, уравнение касательной имеет вид y = 1.2x + 8.6.

Для вычисления площади области под кривой, ограниченной графиком функции, касательной и прямой, мы должны найти площадь между функциями на заданном интервале. Площадь такой области может быть вычислена с помощью определенного интеграла:

Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - это точки пересечения графиков функций и g(x) - уравнение линии x = 1.

Подставив значения a и b, и f(x) = 8 - 0.6x^2 и g(x) = 1.2x + 8.6, получаем:

Площадь = ∫[-√13.33, √13.33] ((8 - 0.6x^2) - (1.2x + 8.6)) dx

Решая этот определенный интеграл, мы можем найти площадь области.

Дополнительный материал:
Задача: Найдите площадь области, ограниченной графиком функции f(x) = 8 - 0.6x^2, касательной к этой функции в точке (-1, f(-1)), и прямой x = 1.

Ответ:
Мы должны найти площадь между функциями на интервале [-√13.33, √13.33]. Подставим значения функций:
Площадь = ∫[-√13.33, √13.33] ((8 - 0.6x^2) - (1.2x + 8.6)) dx
Решите этот определенный интеграл, чтобы найти площадь.

Совет: Чтобы лучше понять, как вычислить площадь области, ограниченной графиком функции, линией и касательной, можно нарисовать графики всех трех функций и визуализировать область, которую нужно найти.

Проверочное упражнение:
Найдите площадь области, ограниченной графиком функции f(x) = 4 - 0.2x^2, касательной к этой функции в точке (2, f(2)), и прямой x = 3.