What are the roots of the equation 5tg2x+14tgx=3?

Содержание: Решение тригонометрического уравнения

Пояснение: Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо использовать знания о тригонометрических функциях и их свойствах. Данное уравнение содержит тригонометрические функции tg(тангенс), которые могут быть связаны с углом x. Давайте решим уравнение шаг за шагом:

1. Выразим tg2x через tgx с использованием формулы: tg2x = (2tgx) / (1 - tg^2x).
2. Подставим это выражение в исходное уравнение: 5((2tgx) / (1 - tg^2x)) + 14tgx = 3.
3. Приведем уравнение к общему знаменателю и упростим его: (10tgx) / (1 - tg^2x) + 14tgx = 3(1 - tg^2x).
4. Распишем правую часть уравнения и приведем его к квадратному виду: 3 - 3tg^2x = (10tgx + 14tgx)(1 - tg^2x).
5. Распределите коэффициенты и приведите уравнение к форме: 3tg^2x + 24tgx - 3 = 0.
6. Замените tgx на t, чтобы сделать уравнение квадратным: 3t^2 + 24t - 3 = 0.
7. Решите полученное квадратное уравнение для t с помощью формулы корней квадратного уравнения или графическим способом.
8. После нахождения значений t, найдите соответствующие значения tgx с помощью обратных тригонометрических функций, таких как arctg(арктангенс).

Например: Найдите корни уравнения 5tg2x + 14tgx = 3.

Совет: При решении тригонометрических уравнений всегда обратите внимание на область значений и периодичность тригонометрических функций, таких как tg(x). Вы также можете использовать графики тригонометрических функций для визуализации уравнения и его корней.

Задание для закрепления: Решите уравнение 2tgc^2x - 3tgcx - 2 = 0. Найдите все корни уравнения и проверьте их подстановкой в исходное уравнение.