Вычислите значение косинуса ∡ t в треугольнике ptc, если известны координаты вершин треугольника: p(1; 0; -2) ; t(0

Геометрия: Вычисление косинуса угла в треугольнике

Инструкция:
Для вычисления косинуса угла `∡ t` в треугольнике `ptc`, сначала нужно найти векторы, соединяющие вершины `p`, `t` и `c`. Затем используем формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Шаги решения:
1. Вычислите векторы `v1 = pt` и `v2 = tc`, используя координаты вершин треугольника. Для этого найдите разность координат между соответствующими вершинами:
- Вектор `v1 = t - p` = `(0 - 1; 2 - 0; 0 - (-2))` = `(-1; 2; 2)`.
- Вектор `v2 = c - t` = `(-3 - 0; 0 - 2; 0 - 0)` = `(-3; -2; 0)`.

2. Вычислите скалярное произведение векторов `v1` и `v2`, используя формулу `v1 • v2 = |v1| • |v2| • cos(∡t)`, где `|v1|` и `|v2|` - длины векторов `v1` и `v2` соответственно:
- Длина вектора `v1` равна `sqrt((-1)^2 + 2^2 + 2^2)` = `sqrt(9)` = `3`.
- Длина вектора `v2` равна `sqrt((-3)^2 + (-2)^2 + 0^2)` = `sqrt(13)`.

Теперь мы можем выразить косинус угла `∡t` как `v1 • v2 / (|v1| • |v2|)`:
`cos(∡t) = (v1 • v2) / (|v1| • |v2|) = (v1x * v2x + v1y * v2y + v1z * v2z) / (|v1| * |v2|)`,
где `v1x`, `v1y`, `v1z` - компоненты вектора `v1`, а `v2x`, `v2y`, `v2z` - компоненты вектора `v2`.

3. Подставьте значения компонентов векторов `v1` и `v2` в формулу и вычислите косинус угла `∡t`:
`cos(∡t) = ((-1) * (-3) + 2 * (-2) + 2 * 0) / (3 * sqrt(13))`. Вычисляя это выражение, получим конечный ответ.

Доп. материал:
Задача: Вычислите значение косинуса ∡ t в треугольнике ptc, если известны координаты вершин треугольника: p(1; 0; -2), t(0; 2; 0), c(-3; -4; 1).

Решение:
1. Вначале найдем вектора `v1 = pt` и `v2 = tc`, используя координаты вершин:
- Вектор `v1 = t - p` = `(0 - 1; 2 - 0; 0 - (-2))` = `(-1; 2; 2)`.
- Вектор `v2 = c - t` = `(-3 - 0; -4 - 2; 1 - 0)` = `(-3; -6; 1)`.

2. Вычислим длины векторов `v1` и `v2`:
- Длина вектора `v1` равна `sqrt((-1)^2 + 2^2 + 2^2)` = `sqrt(9)` = `3`.
- Длина вектора `v2` равна `sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 1^2)` = `sqrt(46)`.

Теперь мы можем выразить косинус угла `∡t` как `cos(∡t) = (v1 • v2) / (|v1| • |v2|)`.

3. Подставим значения компонентов векторов `v1` и `v2` в формулу:
`cos(∡t) = ((-1) * (-3) + 2 * (-6) + 2 * 1) / (3 * sqrt(46))`.

Совет:
Для более лучшего понимания концепции косинуса угла и его вычисления, рекомендуется изучить основы векторной алгебры, в частности понятие скалярного произведения и длины вектора. Также полезно понять, что косинус угла между двумя векторами определяет, насколько эти векторы сонаправлены или противонаправлены.

Дополнительное упражнение:
Вычислите значение косинуса угла `∡t` в треугольнике `abc`, если известны координаты вершин треугольника: `a(2; 4; 1), b(5; -1; 3), c(-3; 0; 2)`.