вопрос: Какой угол образуют векторы a=2m+4n и b=m-n, где m и n - единичные векторы и известно, что угол между m

Тема урока: Угол между векторами

Пояснение: Чтобы определить угол между векторами a и b, необходимо воспользоваться формулой скалярного произведения.

Даны векторы a=2m+4n и b=m-n, где m и n - единичные векторы. Дано, что угол между m и n составляет α градусов.

Формула для определения угла между двумя векторами использует скалярное произведение:

θ = arccos((a·b)/(∥a∥∥b∥))

где θ - искомый угол,
a·b - скалярное произведение векторов a и b,
∥a∥ и ∥b∥ - длины векторов a и b соответственно.

Давайте подставим значения в нашу формулу:

a·b = (2m+4n)·(m-n) = 2m·m - 2m·n + 4n·m - 4n·n

Так как m и n - единичные векторы, то они ортогональны друг другу (угол между ними 90 градусов) и их скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, a·b = 2m·m - 4n·n = 2 - 4 = -2

Теперь найдем длины векторов a и b:

∥a∥ = √((2m+4n)·(2m+4n)) = √(4m·m + 16n·n + 16m·n) = √(4 + 16 + 0) = √20 = 2√5

∥b∥ = √((m-n)·(m-n)) = √(m·m - 2m·n + n·n)

Опять же, так как m и n - единичные векторы, их скалярные произведения будут 1.

∥b∥ = √(1 - 2 + 1) = √0 = 0

Так как ∥b∥ равняется нулю, угол между векторами a и b не определен.

Совет: При работе с углами между векторами важно уметь вычислять скалярное произведение и длины векторов. Угол между векторами зависит от их направления и длин, поэтому учитывайте эти факторы при решении задач.

Задание: Найдите угол между векторами c = 3u - v и d = -2u + v, где u и v - единичные векторы. Предположим, что угол между u и v равен β. Какой угол образуют векторы c и d?