Вероятность и статистика
Вероятность изделий, имеющих брак, не превышает 3%, как утверждает производитель. Если мы возьмем случайную выборку
Вероятность изделий, имеющих брак, не превышает 3%, как утверждает производитель. Если мы возьмем случайную выборку из 100 изделий, и в ней окажется 5 бракованных изделий, нарушает ли это утверждение производителя? Если есть, то с какой точностью это можно утверждать, с уровнем доверия 95%?
18.12.2023 20:16
Написать свой ответ:
Инструкция: Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать тест гипотезы и доверительный интервал. Первым шагом является постановка гипотезы. Нулевая гипотеза (H0) состоит в том, что утверждение производителя верно, то есть вероятность брака не превышает 3%. Альтернативная гипотеза (H1) будет состоять в том, что вероятность брака превышает 3%.
Затем мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения, чтобы рассчитать стандартную ошибку и построить доверительный интервал для доли бракованных изделий. Стандартная ошибка (SE) можно рассчитать по формуле:
SE = sqrt((p * (1 - p)) / n),
где p - вероятность брака (3% или 0.03), n - размер выборки (100).
Затем мы рассчитываем доверительный интервал с помощью стандартной ошибки и уровня доверия (95%).
Доверительный интервал = (p - z * SE, p + z * SE),
где z - значение стандартного нормального распределения для данного уровня доверия (95% = 1.96).
Если нижняя граница доверительного интервала меньше нулевой гипотезы (3%), то мы можем отклонить нулевую гипотезу и заключить, что утверждение производителя нарушено.
Например:
Нам дана выборка из 100 предметов, где 5 предметов являются бракованными. Мы хотим проверить, нарушается ли утверждение производителя о вероятности брака.
Нулевая гипотеза (H0): Вероятность брака не превышает 3% (p <= 0.03)
Альтернативная гипотеза (H1): Вероятность брака больше 3% (p > 0.03)
Мы рассчитываем стандартную ошибку:
SE = sqrt((0.03 * (1 - 0.03)) / 100) = 0.00438
Затем рассчитываем доверительный интервал:
Доверительный интервал = (0.03 - 1.96 * 0.00438, 0.03 + 1.96 * 0.00438) = (0.02161, 0.03839)
Так как нижняя граница доверительного интервала (0.02161) меньше нулевой гипотезы (0.03), мы можем заключить, что утверждение производителя о вероятности брака нарушено.
Совет: Чтобы лучше понять тестирование гипотез, рекомендуется изучить нормальное распределение и использование доверительных интервалов. Также полезно понимать формулировку нулевой и альтернативной гипотез при проведении тестирования.
Задача для проверки: Нам дана выборка из 200 изделий, в которой нашлось 7 бракованных изделий. На основе этих данных, определите, нарушается ли утверждение производителя о вероятности брака не превышающей 3%, с уровнем доверия 95%.