Вариант-1: 1. Какова длина образующей конуса, если его высота равна 42, а диаметр основания составляет 80? 2. Если

Тема урока: Геометрия конусов и цилиндров

Описание:

1. Для решения первой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и формулу для нахождения длины образующей конуса. Диаметр основания равен 80, что означает, что радиус основания равен половине диаметра, то есть 40. Образующая конуса, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: длина образующей в квадрате равна сумме квадратов радиуса и высоты. Подставляем значения и находим длину образующей:
Высота = 42, Радиус = 40.
\[l = \sqrt{40^2 + 42^2}\].

2. Для решения второй задачи нам нужно найти соотношение между площадями боковых поверхностей до и после изменения образующей. Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью формулы \(S = \pi \cdot r \cdot l\), где \(r\) - радиус основания, а \(l\) - длина образующей. Уменьшение образующей в 4,2 раза означает, что новая длина образующей будет \(l_{new} = l / 4.2\). Подставляя значения и считая отношение площадей: \(S_{new} / S = (l_{new} \cdot r) / (l \cdot r) = l_{new} / l\), найдем, во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности.

3. Для решения третьей задачи нам нужно найти площадь осевого сечения конуса. Площадь осевого сечения конуса равна половине произведения длины образующей на диаметр основания. Подставляем значения и вычисляем площадь.

4. Призма окружает цилиндр, поэтому чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, нужно умножить периметр основания на высоту. У правильной шестиугольной призмы периметр основания равен 6 разам длине стороны. Высота цилиндра равна высоте призмы. Подставляем значения и находим площадь боковой поверхности.

5. Высота цилиндра равна диаметру основания, и это равно 2 умножить на радиус основания. Подставляем значения и считаем высоту.

Дополнительный материал:
1. Задача 1: Найдите длину образующей конуса, если его высота равна 42, а диаметр основания составляет 80.
2. Задача 5: Какова высота цилиндра, если его радиус основания равен 10?

Совет:
При решении задач с конусами и цилиндрами всегда обратите внимание на формулы для расчета длины образующей, площади боковой поверхности и объема. Работайте с осями и сечениями, чтобы понять взаимосвязь параметров фигур. Визуализируйте задачу, это поможет вам лучше представить себе геометрические объекты.

Дополнительное задание:
Найдите объем цилиндра, если его радиус основания равен 5, а высота 10.

Содержание вопроса: Геометрия конусов и цилиндров

1. Объяснение: Для нахождения длины образующей конуса, когда известны высота и диаметр основания, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Радиус основания равен половине диаметра, поэтому радиус равен 80/2 = 40. Используя теорему Пифагора, находим длину образующей конуса:

Длина образующей = √(Радиус^2 + Высота^2) = √(40^2 + 42^2) = √(1600 + 1764) = √3364 = 58.

Таким образом, длина образующей конуса равна 58.

Доп. материал: Найдите длину образующей конуса, если его высота равна 42, а диаметр основания составляет 80.

Совет: При решении задач по геометрии конусов хорошо использовать теорему Пифагора, особенно когда даны высота и радиус или диаметр основания.

Закрепляющее упражнение: Найдите длину образующей конуса, если его высота равна 18, а радиус основания составляет 15.

2. Объяснение: Для нахождения во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, когда образующая уменьшится в 4,2 раза и радиус остается неизменным, мы должны знать формулу для площади боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса выглядит следующим образом:

Площадь боковой поверхности = π * Радиус * Образующая.

Согласно условию, образующая уменьшится в 4,2 раза. Таким образом, площадь боковой поверхности уменьшится в 4,2^2 = 17,64 раза.

Доп. материал: Если образующая конуса уменьшится в 4,2 раза, а радиус основания останется неизменным, во сколько раз уменьшится площадь его боковой поверхности?

Совет: Помните, что площадь боковой поверхности зависит от радиуса и образующей конуса. Если один из этих параметров изменяется, то площадь боковой поверхности также изменяется.

Закрепляющее упражнение: Радиус основания конуса равен 10, а его образующая уменьшится в 3 раза. Во сколько раз уменьшится площадь его боковой поверхности?

3. Объяснение: Для нахождения площади осевого сечения конуса, когда известны диаметр основания и длина образующей, мы можем использовать формулу для площади осевого сечения. Площадь осевого сечения конуса зависит от диаметра основания и длины образующей.

Площадь осевого сечения = (π * Диаметр^2) / 4.

В данной задаче, диаметр основания равен 24, что значит радиус равен 12. Подставим значение радиуса и найдем площадь осевого сечения:

Площадь осевого сечения = (π * 12^2) / 4 = (π * 144) / 4 = π * 36.

Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна 36π.

Доп. материал: Найдите площадь осевого сечения конуса, если его диаметр основания равен 24, а длина образующей составляет 37.

Совет: Помните, что площадь осевого сечения конуса зависит от диаметра основания. Если диаметр основания увеличивается, площадь осевого сечения также увеличивается, и наоборот.

Закрепляющее упражнение: Диаметр основания конуса равен 16, а его длина образующей уменьшится в 2 раза. Найдите площадь осевого сечения конуса.

4. Объяснение: Для нахождения площади боковой поверхности призмы, окружающей цилиндр, мы должны знать формулу для площади боковой поверхности призмы. Формула для площади боковой поверхности призмы выглядит следующим образом:

Площадь боковой поверхности призмы = Периметр основания призмы * Высота призмы.

В данной задаче, призма является правильной шестиугольной и окружает цилиндр с радиусом основания, равным √0,03, и высотой 1. Плоский многоугольник, образуемый при основании призмы, является шестиугольником. Площадь одного равностороннего треугольника, образующего шестиугольник, равна (√3 * длина стороны^2) / 4. Чтобы найти площадь основания призмы (шестиугольника), умножим данную площадь треугольника на 6.

Для нахождения площади боковой поверхности призмы, умножим периметр основания призмы на высоту призмы.

Периметр основания призмы = 6 * длина стороны шестиугольника.

Периметр основания также является окружностью, радиус которой является радиусом основания цилиндра (√0,03). Периметр окружности можно найти по формуле: Периметр = 2 * π * Радиус.

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна (6 * (√3 * длина стороны^2) / 4) * (2 * π * √0,03).

Доп. материал: Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, окружающей цилиндр с радиусом основания, равным √0,03, и высотой 1.

Совет: Помните, что призма имеет две основные фигуры и боковую поверхность. Для нахождения площади боковой поверхности призмы, разделите ее на основные фигуры и найдите их площади по отдельности.

Закрепляющее упражнение: Радиус основания цилиндра равен 1, а его высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной призмы, окружающей этот цилиндр.

5. Объяснение: Для нахождения высоты цилиндра, когда известен его радиус основания, мы можем использовать формулу для объема цилиндра. Формула для объема цилиндра выглядит следующим образом:

Объем цилиндра = π * Радиус^2 * Высота.

Мы можем выразить высоту, деля оба конца формулы на π * Радиус^2:

В = π * Радиус^2 * Высота → Высота = В / (π * Радиус^2).

В данной задаче, радиус основания цилиндра равен 10. Подставим значение радиуса и найдем высоту цилиндра:

Высота = 1 / (π * 10^2) = 1 / (100π) = 0,01 / π.

Таким образом, высота цилиндра равна 0,01 / π.

Доп. материал: Какова высота цилиндра, если его радиус основания равен 10?

Совет: Если вам дан радиус цилиндра и нужно найти его высоту, используйте формулу для объема цилиндра и выразите высоту через указанные переменные.

Закрепляющее упражнение: Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите высоту цилиндра.