В рамках математической задачи необходимо построить векторы: a⃗ (2 ; 3 ; 4 ) , ⃗b (2 ;−3 ; −4 ) a) Требуется определить

Суть вопроса: Векторы в трехмерном пространстве

Объяснение: Векторы в трехмерном пространстве являются упорядоченными наборами чисел, которые обозначают величину и направление. Векторы часто представляются в виде координат, где каждое число соответствует проекции вектора на оси координат.

a⃗ (2, 3, 4) - это вектор с компонентами 2 по оси x, 3 по оси y и 4 по оси z.

⃗b (2, -3, -4) - это вектор с компонентами 2 по оси x, -3 по оси y и -4 по оси z.

a) Чтобы найти длину векторов a⃗ и ⃗b, мы используем формулу длины вектора: длина = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), где x, y и z - компоненты вектора. Для вектора a⃗ получаем длину sqrt(2^2 + 3^2 + 4^2) = sqrt(29). Для вектора ⃗b длина равна sqrt(2^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = sqrt(29).

Разложение векторов в базисе (i ⃗, j ⃗, k ⃗) происходит путем представления каждой компоненты вектора в виде суммы произведений координат базисных векторов. Для вектора a⃗ разложение будет: a⃗ = 2*i ⃗ + 3*j ⃗ + 4*k ⃗. Для вектора ⃗b разложение будет: ⃗b = 2*i ⃗ - 3*j ⃗ - 4*k ⃗.

b) Чтобы найти координаты и длину разложения вектора с ⃗ = -3 * a⃗, мы умножаем каждую компоненту вектора a⃗ на -3. Получаем: с ⃗ = -3 * (2*i ⃗ + 3*j ⃗ + 4*k ⃗) = -6*i ⃗ - 9*j ⃗ - 12*k ⃗. Таким образом, координаты разложения вектора с ⃗ равны (-6, -9, -12), а его длина равна sqrt((-6)^2 + (-9)^2 + (-12)^2) = sqrt(261).

Совет: Для лучшего понимания векторов в трехмерном пространстве, стоит представлять их в геометрическом виде с помощью векторных диаграмм. Это поможет визуализировать направление и длину векторов.

Упражнение: Найти длину и разложение вектора d⃗(5, -1, 8) в базисе (i ⃗, j ⃗, k ⃗).