В координатной системе даны точки A с координатами (7;0;6) и B с координатами (14;7;13). Найдите координаты точки

Тема урока: Расстояние между точками в трехмерном пространстве

Объяснение: Для решения данной задачи, нам необходимо найти точку M, которая находится на равных расстояниях от точек A и B. Мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

D = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)

Где D - расстояние между точками, (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты соответствующих точек.

В данной задаче, точка M находится на оси Oz, значит ее координаты будут (0, 0, z). Исходя из условия, расстояние от точки M до точки A должно быть равно расстоянию от точки M до точки B.

Мы можем записать это равенство в виде уравнения:

√((7-0)² + (0-0)² + (6-z)²) = √((14-0)² + (7-0)² + (13-z)²)

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получим:

(7² + 6² + z² - 12z + 6z) = (14² + 7² + 13² - 26z + 13z)

49 + 36 + z² - 6z = 196 + 49 + 169 - 13z

z² - 6z - 407 = 0

Данное квадратное уравнение может быть решено с помощью дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.

Пример:
Задача: В координатной системе даны точки A с координатами (7;0;6) и B с координатами (14;7;13). Найдите координаты точки M на оси Oz, которая находится на равных расстояниях от точек A и B.
Решение:
Используем формулу расстояния между точками:
D = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)
Подставляем значения координат точек A и B:
D = √((14-7)² + (7-0)² + (13-z)²)
Simplifying the equation further, we get:
D = √(49 + 49 + (13-z)²)
D = √(98 + (13-z)²)
To find the point M, we need to find the value of z that satisfies the equation:
√(98 + (13-z)²) = √(98 + (7-z)²)
Simplifying the equation, we get:
98 + (13-z)² = 98 + (7-z)²
Simplifying further, we get:
(13-z)² = (7-z)²
Expanding the equation, we get:
169 - 26z + z² = 49 - 14z + z²
Simplifying, we get:
-26z = -14z + 49 - 169
-12z = -120
z = 10
Thus, the coordinates of point M on the Oz-axis that is equidistant from points A and B are (0,0,10).

Совет: Чтобы более легко решить такие задачи, рекомендуется сначала записать все данные, затем определить формулу, которую нужно использовать, и применить ее по шагам для решения уравнений или нахождения неизвестных значений.

Задание:
В трехмерном пространстве даны точки C с координатами (2;3;4) и D с координатами (8;1;6). Найдите координаты точки N на оси Oy, которая находится на равных расстояниях от точек C и D.

Тема занятия: Равное расстояние между точками в трехмерной координатной системе

Описание:
Чтобы найти координаты точки M на оси Oz, которая находится на равных расстояниях от точек A и B, мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между точками A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) выглядит следующим образом:

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

Однако в этой задаче мы ищем точку, которая находится на равных расстояниях от A и B. Это означает, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B. То есть,

√((x - 7)² + (y - 0)² + (z - 6)²) = √((x - 14)² + (y - 7)² + (z - 13)²)

Раскрывая квадраты и упрощая, получаем:

(x - 7)² + y² + (z - 6)² = (x - 14)² + (y - 7)² + (z - 13)²

Решая это уравнение, мы найдем координаты точки M на оси Oz.

Пример:

Задание: Найдите координаты точки M на оси Oz, которая находится на равных расстояниях от точек A и B, где A(7;0;6) и B(14;7;13).

Решение:
(x - 7)² + y² + (z - 6)² = (x - 14)² + (y - 7)² + (z - 13)²

Раскрывая скобки:
x² + 49 - 14x + y² + z² - 12z + 36 = x² - 28x + 196 + y² - 14y + 49 + z² - 26z + 169

Упрощая:
-14x + 12z - 149 = -28x + 14y - 21z + 379

Переносим все переменные на одну сторону и константы на другую:
14x + 14y - 33z = 528

Ответ: Искомая координата точки M на оси Oz равна z = -(528/33).

Совет:
Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется повторить материал о формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве и уравнении плоскости в трехмерной системе координат.

Закрепляющее упражнение:
Найдите точку N на оси Oy, которая находится на равных расстояниях от точек A(2;8;5) и B(5;4;1). Найдите координату y для точки N.