У вас есть n лампочек, и каждая из них с вероятностью р может иметь дефект. Лампочку устанавливают в патрон, подают

Содержание: Распределение случайной величины Х

Объяснение:
Для решения данной задачи нам необходимо построить ряд распределения случайной величины Х, найти ее функцию распределения, а также вычислить математическое ожидание (М Х), дисперсию (DХ) и вероятность того, что будет испытано не более чем k лампочек.

Шаг 1: Построение ряда распределения случайной величины Х:

| Количество испытанных лампочек (X) | Вероятность P(X) |
|------------------------|-----------------|
| 0 | (1-p)^n |
| 1 | n*p*(1-p)^(n-1) |
| 2 | n*(n-1)*(p^2)*(1-p)^(n-2)/(2!) |
| ... | ... |
| k | n!/(k!(n-k)!) * (p^k) * (1-p)^(n-k) |
| ... | ... |
| n | p^n |

Шаг 2: Функция распределения случайной величины f(x):

F(X) = P(X ≤ x) = Σ P(X = k), где k изменяется от 0 до x

Шаг 3: Вычисление математического ожидания (М Х):

М Х = Σ (X * P(X)), где X - количество испытанных лампочек, P(X) - вероятность

Шаг 4: Вычисление дисперсии (DХ):

DХ = Σ ((X - М Х)^2 * P(X)), где X - количество испытанных лампочек, P(X) - вероятность

Дополнительный материал:

4.1: n=4, p=0,2, k=3

- Ряд распределения случайной величины Х:

| X | P(X) |
|---|-----|
| 0 | 0,4096 |
| 1 | 0,4096 |
| 2 | 0,1536 |
| 3 | 0,0256 |
| 4 | 0,0016 |

- Функция распределения случайной величины f(x):

F(X) = P(X ≤ x) =
P(X ≤ 0) = 0,4096
P(X ≤ 1) = 0,8192
P(X ≤ 2) = 0,9728
P(X ≤ 3) = 0,9984
P(X ≤ 4) = 1

- Математическое ожидание MХ:

М Х = 0 * 0,4096 + 1 * 0,4096 + 2 * 0,1536 + 3 * 0,0256 + 4 * 0,0016 = 0,6832

- Дисперсия DХ:

DХ = (0 - 0,6832)^2 * 0,4096 + (1 - 0,6832)^2 * 0,4096 + (2 - 0,6832)^2 * 0,1536 + (3 - 0,6832)^2 * 0,0256 + (4 - 0,6832)^2 * 0,0016 = 1,35872

- Вероятность того, что будет испытано не более чем 3 лампочки:

P(X ≤ 3) = 0,9984

Рекомендация: Для математического ожидания и дисперсии, вы можете использовать формулы для их вычисления, чтобы более легко решать подобные задачи.

Дополнительное упражнение: 4.2 n=7, p=0,3, k=5

Выбранная тема: Распределение случайной величины Х и функция распределения f(x)

Разъяснение:
Распределение случайной величины Х в данной задаче будет биномиальным распределением, так как каждая лампочка может быть испытана независимо и имеет два возможных исхода: быть дефектной или не быть дефектной.

Определение биномиального распределения:
Биномиальное распределение моделирует число успехов в серии независимых случайных испытаний с фиксированным числом испытаний (n) и постоянной вероятностью успеха (p) в каждом испытании.

Функция распределения f(x) для биномиального распределения определяется следующим образом:
f(x) = C(n, x) * p^x * (1 - p)^(n - x)

Математическое ожидание M Х и дисперсия DХ для биномиального распределения вычисляются следующим образом:
M Х = n * p
DХ = n * p * (1 - p)

Также нам потребуется использовать биномиальную функцию, которая вычисляет число сочетаний по формуле:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Доп. материал:
Для заданных значений n=4, p=0,2, k=3 вычислим:

Ряд распределения:
P(X = 0) = C(4, 0) * 0,2^0 * (1 - 0,2)^(4 - 0) = 0,4096
P(X = 1) = C(4, 1) * 0,2^1 * (1 - 0,2)^(4 - 1) = 0,4096
P(X = 2) = C(4, 2) * 0,2^2 * (1 - 0,2)^(4 - 2) = 0,1536
P(X = 3) = C(4, 3) * 0,2^3 * (1 - 0,2)^(4 - 3) = 0,0256
P(X = 4) = C(4, 4) * 0,2^4 * (1 - 0,2)^(4 - 4) = 0,0016

Функция распределения:
f(0) = P(X <= 0) = P(X = 0) = 0,4096
f(1) = P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,4096 + 0,4096 = 0,8192
f(2) = P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728
f(3) = P(X <= 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 = 0,9984
f(4) = P(X <= 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1

Математическое ожидание:
M Х = n * p = 4 * 0,2 = 0,8

Дисперсия:
DХ = n * p * (1 - p) = 4 * 0,2 * (1 - 0,2) = 0,64

Вероятность, что будет испытано не более чем 3 лампочки:
P(X <= 3) = f(3) = 0,9984

Совет:
Чтобы лучше понять биномиальное распределение и упростить вычисления, можно использовать таблицы сочетаний и степеней числа p. Также полезно изучить примеры применения биномиального распределения в реальной жизни, чтобы лучше понять его применимость и важность.

Закрепляющее упражнение:
Для заданных значений n=5, p=0,1, k=4 вычислите ряд распределения, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность, что будет испытано не более чем 4 лампочки.