Сколько времени потребуется Пете, чтобы перейти на следующий уровень, если он начинает с нуля очков, а для перехода

Тема урока: Решение задачи с геометрической прогрессией

Инструкция: Для решения этой задачи можно использовать понятие геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на определенное число, называемое знаменателем прогрессии. В данной задаче мы видим, что каждую минуту количество очков удваивается, что указывает на геометрическую прогрессию.

Сначала определим знаменатель прогрессии. Заметим, что второе число в последовательности (2 очка) получается умножением первого числа (1 очко) на 2. То же самое происходит и с третьим числом: 2 * 2 = 4. Таким образом, знаменатель прогрессии равен 2.

Для нахождения времени, которое потребуется Пете для набора 100 000 очков, мы можем использовать формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

В нашем случае, a1 = 1, r = 2, и мы хотим найти такое n, чтобы Sn была равна или больше 100 000.

Теперь решим это уравнение:

100 000 = 1 * (1 - 2^n) / (1 - 2).

Упростим:

100 000 = 1 * (1 - 2^n) / (-1).

Умножим обе части уравнения на -1:

-100 000 = 1 - 2^n.

Теперь избавимся от 1:

-100 001 = -2^n.

Для решения этого уравнения возьмем логарифм от обеих частей:

log(-100 001) = log(-2^n).

- О - Для нашей задачи решений нет, так как логарифм от отрицательного числа не определен.

Совет: В этой задаче важно понимать понятие геометрической прогрессии и знать соответствующую формулу для нахождения суммы первых n членов прогрессии. Также следует обратить внимание на условие задачи и убедиться, что вычисляемое значение имеет смысл и не является отрицательным.

Задание: Сколько времени потребуется Пете, чтобы набрать 1 000 очков?

Содержание вопроса: Прогрессия, подсчет суммы прогрессии

Описание: Для решения данной задачи необходимо использовать знания о прогрессиях. В данном случае имеется геометрическая прогрессия, где каждый следующий член прогрессии увеличивается в два раза по сравнению с предыдущим членом.

Чтобы рассчитать количество времени, необходимое Пете для перехода на следующий уровень и набрать 100 000 очков, мы должны сначала вычислить сумму первых членов прогрессии до достижения или превышения этого значения. Формула для суммы геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

Где:
- \( S_n \) - сумма первых n членов прогрессии
- \( a \) - первый член прогрессии
- \( r \) - знаменатель прогрессии
- \( n \) - номер члена прогрессии

В данной задаче первый член равен 1, знаменатель равен 2, и нам нужно найти количество времени (n), когда сумма (S_n) будет равна или превысит 100 000.

Подставляя значения в формулу, мы получим:

\[ S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^n}{1 - 2} \]

Приравниваем сумму к 100 000:

\[ 100000 = \frac{1 - 2^n}{-1} \]

Умножаем обе части уравнения на -1:

\[ -100000 = 1 - 2^n \]

Теперь избавляемся от 1 на левой стороне, вычитая его из обеих частей уравнения:

\[ -100001 = -2^n \]

Поскольку знаменатель уравнения равен -1, мы можем умножить обе части на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака. Получится:

\[ 100001 = 2^n \]

Чтобы избавиться от степени, возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей уравнения:

\[ \log_2(100001) = \log_2(2^n) \]

Теперь используем свойство логарифма:

\[ n = \log_2(100001) \]

Находим значение логарифма и округляем до ближайшего большего целого числа:

\[ n \approx 16.61 \]

Таким образом, чтобы набрать 100 000 очков, Пете потребуется примерно 17 минут.

Например:
У Пети на каждую минуту прибавляется количество очков, равное удвоенной суммы очков за предыдущую минуту. Определите, сколько минут Пете потребуется для перехода на следующий уровень, если необходимо набрать 100 000 очков.

Совет: Если у вас возникают затруднения с использованием формулы для суммы прогрессии, можно попробовать решить задачу последовательно. Постепенно увеличивайте количество минут и суммируйте полученные очки, пока не достигнете или превысите значение 100 000. Это может помочь в понимании общего паттерна и позволит вам найти правило, которое применяется при увеличении количества очков каждую минуту.

Практика: Сколько времени потребуется Пете, чтобы набрать 1 000 000 очков, если каждую минуту он добавляет начиная с первой - 1 очко, второй - 3 очка, третьей - 9 очков и так далее, увеличивая количество очков в 3 раза каждую минуту?