Сколько способов можно выбрать четыре карточки из чисел от 1 до 20 так, чтобы на них было одинаковое количество простых

Тема урока: Количество способов выбрать четыре карточки с одинаковым количеством простых и составных чисел.

Описание: Для решения данной задачи необходимо определить, сколько существует комбинаций, в которых будет одинаковое количество простых (числа, имеющие только два делителя - 1 и само число) и составных (числа, имеющие больше двух делителей) чисел.

Для этого проведем анализ возможных комбинаций. В числах от 1 до 20 имеется 8 простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) и 12 составных чисел. Чтобы выбрать 4 числа соответствующих условию задачи, мы можем использовать следующие сочетания:
- 0 простых чисел и 4 составных чисел,
- 1 простое число и 3 составных числа,
- 2 простых числа и 2 составных числа,
- 3 простых числа и 1 составное число,
- 4 простых числа и 0 составных чисел.

Рассмотрим каждый из этих случаев и подсчитаем количество сочетаний:
1. 0 простых чисел и 4 составных числа: количество сочетаний равно C(8, 0) * C(12, 4) = 1 * 495 = 495.
2. 1 простое число и 3 составных числа: количество сочетаний равно C(8, 1) * C(12, 3) = 8 * 220 = 1760.
3. 2 простых числа и 2 составных числа: количество сочетаний равно C(8, 2) * C(12, 2) = 28 * 66 = 1848.
4. 3 простых числа и 1 составное число: количество сочетаний равно C(8, 3) * C(12, 1) = 56 * 12 = 672.
5. 4 простых числа и 0 составных чисел: количество сочетаний равно C(8, 4) * C(12, 0) = 70 * 1 = 70.

Общее количество способов выбрать четыре карточки с одинаковым количеством простых и составных чисел равно сумме полученных значений: 495 + 1760 + 1848 + 672 + 70 = 4845.

Например: Сколько способов выбрать три числа из чисел от 1 до 10 так, чтобы на них было одинаковое количество простых и составных чисел?

Совет: Чтобы решить эту задачу, необходимо разобраться с понятиями простых и составных чисел, а также научиться применять формулу сочетаний (C(n, k)) для подсчета количества способов выбрать k элементов из множества из n элементов.

Практика: Сколько способов можно выбрать пять карточек из чисел от 1 до 30 так, чтобы на них было ровно два простых числа и три составных числа?