Сколько разных вариантов возможно получить из начального состояния, когда все лампочки выключены, находящихся

Задача: Количество различных вариантов переключения состояний лампочек

Инструкция:
Для решения данной задачи мы можем использовать метод комбинаторики. Имеется девять лампочек в квадрате 3х3, и нам необходимо определить, сколько различных вариантов переключения состояний можно получить при переключении любых четырех клеток, образующих квадрат 2х2.

Пусть каждая лампочка будет обозначаться символом "0" (выключена) или "1" (включена). Рассмотрим один из возможных вариантов переключения состояний:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Мы можем выбрать любые четыре клетки в квадрате 3х3 и изменить их состояние. Возможные варианты для переключения состояний лампочек внутри квадрата 2х2 выглядят следующим образом:

1 1 0    0 1 1    0 1 0    0 0 1

1 1 0    1 1 0    0 0 1    1 0 0

0 0 0    0 0 0    0 0 1    0 0 0

Таким образом, мы можем получить 4 различных варианта переключения состояний. Но так как мы можем выбрать любые четыре клетки, у нас есть несколько возможных точек начала переключений. Другими словами, мы можем выбрать первый квадрат 2х2, второй, третий и так далее.

Так как у нас есть 9 клеток в квадрате 3х3 и мы выбираем 4 клетки для переключения состояний, количество различных вариантов переключений состояний будет равно количеству сочетаний. Обозначим это как C(9,4). Это можно вычислить, используя формулу сочетаний:

C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)

Где n - общее количество элементов, r - количество элементов, которые мы выбираем. Для данной задачи:

C(9,4) = 9! / (4! * (9-4)!) = 126

Таким образом, мы можем получить 126 различных вариантов переключения состояний из начального состояния квадрата 3х3 с выключенными лампочками, переключая состояние любых четырех клеток, образующих квадрат 2х2.

Совет: При решении подобных задач комбинаторики обратите внимание на использование формул сочетаний. Важно правильно определить общее количество элементов и количество элементов, которые вы выбираете.

Закрепляющее упражнение: Сколько различных вариантов переключения состояний можно получить, выбирая три клетки в квадрате 4х4, в котором находится 16 лампочек?