Сколько лет потребуется, чтобы количество перепёлок в заповеднике превысило 250 процентов начального значения

Тема: Рост популяции перепёлок

Описание:

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу экспоненциального роста. Пусть x - количество лет, которое потребуется, чтобы популяция перепёлок превысила 250% начального значения.

Исходные данные:
- Начальное значение популяции перепёлок (P₀) = 100%
- Увеличение популяции каждый год (r) = 20%

Формула для роста популяции перепёлок:
P(t) = P₀ * (1 + r/100)^t,

где P(t) - популяция перепёлок через t лет.

Мы хотим получить P(t) > 250% P₀.

250% П₀ = 2.5 P₀.

Подставим значения в формулу:

2.5 P₀ = P₀ * (1 + r/100)^x.

Делим обе части уравнения на P₀:

2.5 = (1 + r/100)^x.

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

ln(2.5) = ln((1 + r/100)^x).

Так как ln((1 + r/100)^x) = x * ln(1 + r/100),

мы можем переписать уравнение:

x * ln(1 + r/100) = ln(2.5).

Теперь делим обе части уравнения на ln(1 + r/100):

x = ln(2.5) / ln(1 + r/100).

Мы можем подставить значения r = 20% и рассчитать x.

Демонстрация:

Возьмем r = 20%.

x = ln(2.5) / ln(1 + 20/100) = ln(2.5) / ln(1.2) ≈ 3.8 года.

Таким образом, потребуется около 3.8 лет, чтобы популяция перепёлок превысила 250% начального значения.

Совет:

Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется изучить основы экспоненциального роста и применение естественного логарифма в математике. Также полезно проводить практические упражнения и задачи для закрепления полученных знаний.

Задание для закрепления:

Если начальное значение популяции перепёлок составляет 200 единиц, сколько лет потребуется, чтобы популяция увеличилась в 3 раза, если рост происходит на 15% ежегодно?

Название: Решение задачи о росте популяции перепёлок.

Пояснение: Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать простое математическое уравнение для роста популяции. Задача говорит нам о том, что популяция перепёлок каждый год увеличивается на 20 процентов от начального значения.

Мы можем представить рост популяции перепёлок как геометрическую прогрессию, где каждый последующий член этой прогрессии равен предыдущему, умноженному на коэффициент роста в процентах (1 + 20/100 = 1.2).

Пусть N будет начальным количеством перепёлок. Тогда через год будет N * 1.2, а через два года - N * 1.2 * 1.2 (или N * 1.2^2).

Количество лет, необходимых для того, чтобы количество перепёлок превысило 250% начального значения, можно найти путем решения следующего уравнения: N * (1.2^t) > 2.5N, где t - количество лет.

Делим обе части уравнения на N и получаем: 1.2^t > 2.5.

Теперь нам нужно найти значение t, для которого выполнено это неравенство. Используем логарифмы, чтобы избавиться от степени: t > log base 1.2 (2.5).

Дополнительный материал:
Задача: Сколько лет потребуется, чтобы количество перепёлок в заповеднике превысило 250 процентов начального значения, учитывая, что популяция перепёлок увеличивается каждый год на 20 процентов?

Решение:
Мы знаем, что коэффициент роста (1 + 20/100) равен 1.2.
Применим логарифмы для нахождения значения t:
t > log base 1.2 (2.5) ≈ 4.96.

Таким образом, количество лет, необходимых для превышения 250% начального значения популяции перепёлок, составляет примерно 4.96 (округляем в большую сторону) или 5 лет.

Совет:
Для лучшего понимания математических задач роста популяции рекомендуется изучить понятие геометрической прогрессии и ее основные свойства. Также важно проконтролировать правильность использования коэффициента роста при расчетах.

Ещё задача:
В заповеднике в начале года было 100 перепёлок. Каждый год популяция перепёлок увеличивается на 15%. Сколько перепёлок будет в заповеднике через 3 года? (Ответ округлите до ближайшего целого числа.)