Сколько корней имеет уравнение tg2x=tgx на отрезке [п/2;3п/2]?

Суть вопроса: Решение уравнения tg2x = tgx на отрезке [п/2;3п/2]

Инструкция: Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти значения x, при которых tg2x равно tgx на заданном отрезке [п/2;3п/2].

Для начала, давайте вспомним основное свойство тригонометрической функции тангенс: tg(x + п) = tg(x). Это свойство позволяет нам упростить уравнение.

В первую очередь, заметим, что значения 2x и x должны быть на одной прямой параллельными заданному отрезку. То есть, 2x = x + kп, где k - целое число.

Решая это уравнение, получаем x = kп/2, где k - целое число. Однако, нам необходимо найти значения x на заданном отрезке [п/2;3п/2].

Максимальное значение x на данном отрезке равно 3п/2. Подставляя это значение в уравнение, получаем tg(2 * 3п/2) = tg(3п/2).

tg(2 * 3п/2) = tg(п * 3/2 + п) = tg(п/2) = бесконечность

tg(3п/2) = бесконечность

Как мы видим, значения tg(2 * 3п/2) и tg(3п/2) равны бесконечности, что означает, что уравнение tg2x = tgx не имеет конечного решения на заданном отрезке [п/2;3п/2].

Совет: Для лучшего понимания уравнений с тригонометрическими функциями, полезно знать основные свойства этих функций и уметь применять их в решении уравнений. Также помните, что некоторые уравнения могут не иметь решений на заданном интервале или могут иметь бесконечное число решений.

Упражнение: Решите уравнение cos(3x) = sin(2x) на интервале [0; 2п].