Сколько целочисленных точек (x, y) на координатной плоскости удовлетворяют условию x² + y⁴ = √(18x - 81x²

Решение: Для того чтобы найти количество целочисленных точек (x, y), удовлетворяющих уравнению x² + y⁴ = √(18x - 81x² - 1), мы можем преобразовать это уравнение и анализировать его по частям.

1. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы убрать корень:
(x² + y⁴)² = (sqrt(18x - 81x² - 1))²

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
x⁴ + 2x²y⁴ + y⁸ = 18x - 81x² - 1

3. Выразим x в виде y для решения уравнения:
x = (y⁸ - 2x²y⁴ + 1)/(18 - 81x)

4. Подставим это значение x в исходное уравнение:
(y⁸ - 2((y⁸ - 2x²y⁴ + 1)/(18 - 81x))²y⁴ + 1)² + y⁴ = √(18((y⁸ - 2x²y⁴ + 1)/(18 - 81x)) - 81((y⁸ - 2x²y⁴ + 1)/(18 - 81x))² - 1)

5. На первый взгляд может показаться, что задача достаточно сложная для решения вручную. Однако она может быть решена при помощи компьютерной программы, например, с использованием метода перебора, подставляя различные значения для x и y и проверяя, удовлетворяют ли они уравнению.

6. Чтобы получить количество целочисленных точек, мы должны выполнить перебор значений x и y в определенном диапазоне и проверить, удовлетворяют ли они уравнению.

Совет: Если у вас есть возможность использовать программирование для решения этой задачи, то это будет гораздо более эффективным способом, чем пытаться решить ее вручную. Используйте циклы для перебора всех возможных значений x и y и проверьте, удовлетворяет ли каждая пара условию уравнения. Это позволит вам найти количество целочисленных точек (x, y) гораздо быстрее.

Задание для закрепления: Найдите количество целочисленных точек (x, y) на координатной плоскости, которые удовлетворяют уравнению x² + y² = 25.

Содержание: Решение уравнения на координатной плоскости

Описание: Дано уравнение x² + y⁴ = √(18x - 81x² - 1). Наша задача - найти количество целочисленных точек (x, y) на координатной плоскости, которые удовлетворяют данному условию.

Давайте разберемся сначала с уравнением. Исходное уравнение содержит два переменных, x и y. Чтобы решить его, мы будем использовать метод приведения уравнения к квадратному виду. Начнем свыдерживания корней из обеих сторон, чтобы избавиться от корней:

x² + y⁴ = 18x - 81x² - 1

Квадратируем обе части уравнения:

(x² + y⁴)² = (18x - 81x² - 1)²

Раскроем скобки:

x⁴ + 2x²y⁴ + y⁸ = 324x² - 1458x⁴ + 18x + 6561x⁴ - 162x³ + 1

Упростим уравнение:

6562x⁴ - 162x³ - 1458x⁴ + 324x² - x⁴ + 2x²y⁴ + y⁸ - 18x - 1 = 0

Объединим похожие слагаемые:

4904x⁴ - 162x³ + 326x² + 2x²y⁴ + y⁸ - 18x - 1 = 0

Теперь мы можем решить это кубическое уравнение для переменной x. Получившееся уравнение является кубическим по x, а это значит, что есть возможность существования одного или трех корней уравнения. Остается только решить уравнение и подставить найденные значения x в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y. Количество полученных целочисленных точек будет искомым числом.

Доп. материал: Решим данное уравнение и найдем количество целочисленных точек на координатной плоскости:

x⁴ + 2x²y⁴ + y⁸ - 4904x⁴ + 162x³ - 326x² - 2 = 0

Одно из решений уравнения: x = 2. Подставим его в исходное уравнение:

2² + y⁴ = √(18 * 2 - 81 * 2² - 1)

4 + y⁴ = √(36 - 81 * 4 - 1)

4 + y⁴ = √(36 - 324 - 1)

4 + y⁴ = √(-289)

Степень искомого числа отрицательна, поэтому корней нет. Количество целочисленных точек, удовлетворяющих условию, равно 0.

Совет: Для успешного решения подобных уравнений полезно применять знания о квадратных и кубических уравнениях. Также важно помнить, что в некоторых случаях уравнение может не иметь целочисленных решений.

Дополнительное задание: Решите уравнение x² + y⁴ = √(25x - 100x² - 1) и найдите количество целочисленных точек (x, y), удовлетворяющих условию. Запишите количество точек в виде целого числа.