Сколько будет оставаться уникальных слагаемых, если развернуть скобки и объединить одинаковые слагаемые в выражении

Тема: Раскрытие скобок и объединение одинаковых слагаемых в алгебраическом выражении

Объяснение: Для решения данной задачи, нам необходимо развернуть скобки и объединить одинаковые слагаемые в выражении.

Для начала, раскроем каждую скобку по формуле квадрата суммы:

( 1 + x^2 + x^4 + … + x^30 )^2 раскрывается в 1 + 2x^2 + 2x^4 + … + 2x^60 + x^4 + ... + x^60

( 1 + x^3 + x^6 + … + x^30 )^2 раскрывается в 1 + 2x^3 + 2x^6 + … + 2x^90 + x^6 + ... + x^90

Теперь сложим полученные два выражения:

( 1 + 2x^2 + 2x^4 + … + 2x^60 + x^4 + ... + x^60 ) + ( 1 + 2x^3 + 2x^6 + … + 2x^90 + x^6 + ... + x^90 )

Объединим одинаковые слагаемые:

2 + 2x^2 + 3x^3 + 3x^4 + 3x^6 + ... + 2x^90 + x^4 + ... + x^60 + x^90

Теперь мы можем заметить, что каждая степень x от 2 до 90 (кроме 5, 10, 20, 30 и 60) встречается дважды, а каждая степень x от 3 до 90 (кроме 6, 12, 24 и 30) встречается трижды.

Таким образом, количество уникальных слагаемых в данном выражении будет равно сумме количества уникальных степеней x, то есть:

1 (степень x^0) + 89 (уникальные степени x от 2 до 90) = 90 уникальных слагаемых.

Пример использования:

раскрываем скобки:

(1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)^2 + (1 + x^3 + x^6 + x^9)^2

получаем:

1 + 2x^2 + 2x^4 + 2x^6 + 2x^8 + x^4 + x^8 + x^12

объединяем одинаковые слагаемые:

1 +2x^2 + x^4 + 2x^6 + x^8 + x^12

Совет:

Чтобы лучше понять эту тему, важно разобраться с правилами раскрытия скобок в алгебре и овладеть навыками группировки и объединения одинаковых слагаемых. Работайте с аккуратностью и вниманием, чтобы избежать ошибок при объединении слагаемых.

Упражнение:

Разверните следующие выражения и объедините одинаковые слагаемые:

1. (2x^2 + 3x^4 + 4x^6)^2 + (x + 2x^3 + 2x^4)^2
2. (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)^2 + (1 + x^3 + x^6 + x^9)^2