Решите следующее уравнение: cosx + 2cos(2x - п/3) = √3sin2x

Тема: Решение уравнения с помощью тригонометрических тождеств

Описание: Дано уравнение: cosx + 2cos(2x - п/3) = √3sin2x - 1. Чтобы решить это уравнение, мы сначала применим некоторые тригонометрические тождества.

Для начала, вспомним формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: √3sin2x - 1. Мы можем заменить sin^2(x) в этом выражении по формуле синусов: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Теперь уравнение примет вид: cosx + 2cos(2x - п/3) = √3(1 - cos^2(x)) - 1.

Раскроем скобки и упростим: cosx + 2(cos^2(x) - sin^2(x - п/6)) = √3 - √3cos^2(x) - 1.

Перегруппируем термины и получим: 3cos^2(x) - sin^2(x - п/6) + cosx - √3cos^2(x) = √3 - 1.

Далее, сгруппируем косинусы и синусы: (3cos^2(x) - √3cos^2(x)) - sin^2(x - п/6) + cosx = √3 - 1.

Объединим и упростим: (2cos^2(x) - sin^2(x - п/6) + cosx = √3 - 1.

Раскроем разность квадратов и получим: (2cos(x) + sin(x - п/6))(cos(x) - sin(x - п/6)) + cosx = √3 - 1.

Теперь у нас есть два множителя, равные нулю: 2cos(x) + sin(x - п/6) = 0 и cos(x) - sin(x - п/6) = √3 - 1.

Теперь мы можем решить эти два уравнения отдельно и найти значения x.

Пример использования: Решите следующее уравнение: cosx + 2cos(2x - п/3) = √3sin2x - 1.

Совет: Чтобы успешно решить такие уравнения, важно знать тригонометрические формулы и уметь использовать их для упрощения выражений. Регулярная практика и понимание этих тождеств помогут вам стать более уверенным в решении подобных задач.

Упражнение: Решите уравнение: sin(x) - cos(x) = 0.