Продублюйте: 1. Існує можливість виявити проміжки збільшення та зменшення функції y = x²-2x+3? 2. Які точки максимуму

Содержание вопроса: Парабола и её график
Описание:
1. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции y = x²-2x+3, нужно найти её производную. Найдем производную от функции y: y" = 2x - 2. Решим уравнение y" = 0, чтобы определить значения x, в которых производная равна нулю. Решением уравнения будет x = 1. Это означает, что в точке x = 1 функция имеет экстремум (максимум или минимум). Для определения характера экстремума можно анализировать знак производной слева и справа от точки x = 1. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум, если с плюса на минус - это максимум. Подставим значения x из интервала предшествующего 1 в y", например, x = 0, получим y" = -2, что означает, что функция убывает на интервале (-∞,1). Подставим значения x из интервала следующего после 1, например, x = 2, получим y" = 2, что означает, что функция возрастает на интервале (1,∞). Значит, функция y = x²-2x+3 возрастает на интервале (1,∞) и убывает на интервале (-∞,1).
2. Чтобы найти точки максимума и минимума функции y = 2x³-3x², нужно найти производную и приравнять её к нулю. Найдем производную от функции y: y" = 6x²-6x. Решим уравнение y" = 0, чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю. Подставим значение x из уравнения второй степени. Таким образом, получаем следующие значения x: x= 0 и x= 1. Это означает, что функция имеет экстремумы в точках х = 0 и х = 1. Для определения характера экстремумов, анализируем знак производной слева и справа от найденных точек. Если знак меняется с минуса на плюс, то это минимум, если с плюса на минус - это максимум. Мы получили следующие результаты: функция имеет минимум в точке х = 0 и максимум в точке х = 1.
3. Для изучения функции y = 3x - x³ и построения её графика, нужно анализировать основные свойства данной функции. Мы можем начать с нахождения корней уравнения y = 0, где y представляет собой заданную функцию. Решив уравнение 3x - x³ = 0, мы найдем корни x = -1, x = 0 и x = 1. Затем, чтобы найти точки перегиба функции, нужно найти вторую производную и найти её ноль. Если значения второй производной меняют знак в окрестности точки, то это точка перегиба. В данном случае, вторая производная равна -6x, и она меняет знак при переходе от отрицательных значений x к положительным, следовательно, точка x = 0 будет точкой перегиба. Зная основные характеристики функции, мы можем построить её график, отметив найденные корни и точку перегиба. Перед вами - построенный график функции y = 3x - x³.
4. Функция y = -9/x - x имеет ограничение x≠0, так как в знаменателе не может быть нуля. Предположим, что интервал, на котором мы хотим найти наибольшее и наименьшее значения функции, - это отрезок [a, b]. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на этом отрезке, нужно найти значения функции в его концах и в стационарных точках на этом отрезке (то есть точках, где производная равна нулю или не существует) и сравнить их. В случае функции y = -9/x - x на отрезке [a, b], у нее есть одна стационарная точка, и это точка экстремума. Остается только найти значение функции в стационарной точке и значения в концах отрезка и сравнить их. В результате мы получаем наименьшее значение функции в одном из концов отрезка, а наибольшее значение функции - в другом конце отрезка.
Совет: Для более глубокого понимания данных тем, рекомендуется ознакомиться с понятием производной функции. Также полезным будет изучение графиков функций и их свойств.
Упражнение: Найдите интервалы возрастания и убывания для функции y = 4x³-6x²-24x+10.