При каком значении m плоскость, проходящая через точки Q(1; 1; 2), R(–1; 2; 1), S(2; –3; –8), будет перпендикулярной

Тема урока: Свойства перпендикулярных плоскостей

Объяснение: Чтобы определить, при каком значении m плоскость будет перпендикулярной плоскости x + my – z = 0, нам потребуется использовать свойство перпендикулярных плоскостей. Данное свойство гласит, что две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны друг другу.

Первым шагом необходимо найти нормальный вектор плоскости x + my – z = 0. Такая плоскость имеет вид Ax + By + Cz = 0, где A = 1, B = m и C = -1. Следовательно, нормальный вектор плоскости это вектор (A, B, C).

Нормальный вектор плоскости x + my – z = 0 равен (1, m, -1). Далее мы должны найти нормальный вектор плоскости, проходящей через точки Q(1, 1, 2), R(-1, 2, 1) и S(2, -3, -8). Для этого можем использовать векторное произведение двух векторов проходящих через данные точки.

Вектор, проходящий через точки Q и R, равен (-1 - 1, 2 - 1, 1 - 2) = (-2, 1, -1).
Вектор, проходящий через точки Q и S, равен (2 - 1, -3 - 1, -8 - 2) = (1, -4, -10).

Вычислив векторное произведение этих двух векторов, получаем:
(-2, 1, -1) x (1, -4, -10) = (-12, -8, -2).

Теперь, чтобы найти m, мы должны установить, что нормальный вектор плоскости (1, m, -1) и вектор (-12, -8, -2) ортогональны друг другу, то есть их скалярное произведение равно 0.

(1, m, -1) * (-12, -8, -2) = 1 * -12 + m * -8 + (-1) * -2 = -12 - 8m + 2 = -10 - 8m.

Приравняем это к нулю и решим уравнение:

-10 - 8m = 0,
-8m = 10,
m = -10/8,
m = -5/4.

Дополнительный материал: Найти значение m для плоскости, перпендикулярной плоскости x + my – z = 0 и проходящей через точки Q(1; 1; 2), R(–1; 2; 1), S(2; –3; –8).

Совет: Чтобы более легко понять свойства перпендикулярных плоскостей, рекомендуется изучить алгебруические и геометрические свойства векторов и их использование в задачах на плоскости и в пространстве.

Проверочное упражнение: Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через точки A(0, 1, 2), B(3, -1, 1) и C(4, 2, -3). Затем найдите значение m для плоскости, перпендикулярной плоскости x + my – z = 0.