При каких значениях x достигается наименьшее значение функции y=(5x/2+9-x^2)^2?

Задача: Поиск наименьшего значения функции с заданным выражением

Инструкция: Для нахождения наименьшего значения функции y=(5x/2+9-x^2)^2, нужно использовать метод дифференцирования функции. Дифференцирование позволит нам найти точки экстремума функции, в данном случае минимум.

Для начала, найдём первую производную функции y по переменной x. Затем приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю. Эти значения будут точками экстремума функции, и среди них будет точка минимума.

1. Найдем первую производную функции y=(5x/2+9-x^2)^2.
Обозначим функцию как f(x). Тогда:
f"(x) = 2 * (5x/2+9-x^2) * (5/2 - 2x)

2. Приравниваем производную к нулю для поиска точек экстремума:
f"(x) = 0
2 * (5x/2+9-x^2) * (5/2 - 2x) = 0

3. Решим полученное уравнение для x:

a) (5x/2+9-x^2) = 0
5x/2 + 9 - x^2 = 0
5x + 18 - 2x^2 = 0
2x^2 - 5x - 18 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или формулы дискриминанта.

b) (5/2 - 2x) = 0
5/2 - 2x = 0
2x = 5/2
x = 5/4

4. Полученные значения x будут точками экстремума функции. Чтобы найти точку минимума, нужно проверить вторую производную в этих точках. Если вторая производная положительна, то это будет точка минимума.
Для этого найдем вторую производную и подставим в полученные значения x:

f""(x) = 2 * (5/2 - 2x) * (5/2 - 2x)" = 2 * (-2) = -4

Вторая производная f""(x) = -4 отрицательна, поэтому у нас имеется точка минимума.

Решение:
Наименьшее значение функции y=(5x/2+9-x^2)^2 достигается при x = 5/4.

Совет:
Чтобы лучше понять процесс дифференцирования и применение его к данной задаче, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования и начать с простых примеров.

Упражнение:
Найдите наибольшее значение функции y=(2x^2 - 7x + 3)^2.