Предварительно! Докажите, что для произвольных взаимно простых чисел a и b существуют такие p и q, при которых числа

Доказательство существования p и q:

Пусть a и b - взаимно простые числа. То есть, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Рассмотрим выражение p+na (где p и n - произвольные целые числа). Мы хотим доказать, что для любого натурального n, p+na и q+nb (где q и b - другие произвольные целые числа) также будут взаимно простыми.

Предположим, что это не так. То есть, существует такое натуральное n, при котором p+na и q+nb имеют общий делитель d, который больше 1.

Заметим, что если d является делителем числа p+na, то он также является делителем числа (p+na)-nq = p+(na-nq) = p+n(a-b).

Теперь рассмотрим число (a-b). Если оно не равно 0, то оно должно иметь свой общий делитель с числами a и b. Но так как a и b взаимно просты, это противоречит предположению.

Таким образом, можно сделать вывод, что для любых взаимно простых чисел a и b существуют такие числа p и q, при которых числа p+na и q+nb будут взаимно простыми для любого натурального n.

Пример:

Допустим, у нас есть два взаимно простых числа a = 3 и b = 5. Нам нужно найти такие числа p и q, чтобы для любого натурального n числа p+3n и q+5n оказывались взаимно простыми.

Одно из возможных решений: p = 2 и q = 1. Тогда p+3n = 2+3n и q+5n = 1+5n будут взаимно простыми для любого натурального n.

Совет:

Чтобы лучше понять данное доказательство, рекомендуется внимательно следить за логикой и алгоритмом рассуждений. Убедитесь, что вы понимаете, как полученное решение подтверждается условием задачи. Если возникают сложности, обратитесь за помощью к учителю или воспользуйтесь дополнительными материалами по теме.

Задание:

Докажите, что для произвольных взаимно простых чисел a и b существуют такие p и q, при которых числа p+2na и q+3nb оказываются взаимно простыми для любого натурального n.