Правда ли, что равенство cos^2(14π+x)=1+sin^2(26π−x) верно?

Содержание вопроса: Равенства тригонометрических функций

Пояснение: Для проверки данного уравнения необходимо использовать математические свойства тригонометрических функций. Исходя из формулы cos^2(x) + sin^2(x) = 1, мы можем заметить, что это равенство выражает тождество Пифагора. Используя это свойство, мы можем привести данное уравнение к удобному виду для проверки:

cos^2(14π+x) = 1 + sin^2(26π−x)

Перепишем выражение, заменив sin^2 на выражение с использованием тождества Пифагора:

cos^2(14π+x) = 1 + (1 - cos^2(26π−x))

Раскроем скобки и упростим выражение:

cos^2(14π+x) = 1 + 1 - cos^2(26π−x)

Теперь сформулируем следующий шаг, раскрывая cos^2(14π+x) и cos^2(26π−x):

(1/2 + (1/2)cos(2(14π+x))) = 2 - cos^2(26π−x)

Упростим выражение, учитывая, что cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ):

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 2 - cos^2(26π−x)

Теперь заменим cos^2 на выражение с использованием тождества Пифагора:

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 2 - (1 - cos^2(26π−x))

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 2 - 1 + cos^2(26π−x)

Упростим выражение:

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 1 + cos^2(26π−x)

Теперь заменим cos^2 на sin^2 с использованием тождества Пифагора:

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 1 + (1 - sin^2(26π−x))

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 1 + 1 - sin^2(26π−x)

Теперь заменим sin^2 на cos^2 с использованием того же тождества Пифагора:

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 1 + 1 - cos^2(26π−x)

1/2 + (1/2)cos(28π+2x) = 2 - cos^2(26π−x)

Таким образом, равенство данного уравнения верно.

Совет: При решении уравнений со сложными тригонометрическими выражениями, полезно использовать известные тригонометрические тождества для преобразования и упрощения выражений. Особое внимание следует обратить на тождество Пифагора, так как оно играет важную роль в подобных задачах.

Проверочное упражнение: Решите уравнение cos^2(x) = 1/4 и определите все значения переменной x, удовлетворяющие данному равенству.