Постройте график функции, представленной в виде уравнения: y = (x² - 25) / (x - 5) - 2x² + 6x

Содержание вопроса: Построение графика функции.

Разъяснение: Чтобы построить график данной функции, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. В данном случае, функция не определена при x=5, так как знаменатель становится равным нулю. Поэтому область определения функции будет x ≠ 5.

2. Найти асимптоты функции. Для этого перейдем к пределам при x → ±∞. Когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, мы видим, что первое слагаемое в числителе функции, x² - 25, стремится к положительной бесконечности, а второе слагаемое в числителе, -2x² + 6x, стремится к отрицательной бесконечности. Значит, у функции есть горизонтальная асимптота на уровне y = -2.

3. Найти точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, приравняем x к нулю: (0² - 25) / (0 - 5) - 2 * 0² + 6 * 0 / 0 = -25 / -5 = 5. То есть, функция пересекает ось Oy в точке (0, 5). Чтобы найти точку пересечения с осью Ox, приравняем y к нулю: (x² - 25) / (x - 5) - 2x² + 6x / x = 0. Решив это уравнение, мы найдем еще одну точку пересечения.

4. Построить график, используя найденные данные. Начертим оси координат и отметим точку пересечения с осью Oy (0, 5). Также проведем горизонтальную асимптоту y = -2. Затем найдем еще несколько точек, подставляя разные значения x в уравнение функции. Нанесем все эти точки на график и соединим их плавной кривой.

Пример использования: Построить график функции y = (x² - 25) / (x - 5) - 2x² + 6x / x.

Совет: Чтобы лучше понять, как изменяется функция и как она поведет себя на графике, можно построить таблицу значений функции, подставив разные значения x и найдя соответствующие значения y.

Дополнительное задание: Построить график функции y = (x² - 9) / (x - 3) - 3x² + 4x / x.