Покажите, что длина отрезка АА1 равна длине отрезка ВВ1 на рисунке 112, где О и О1 - центры окружностей, СА1 и

Тема урока: Длина отрезка АА1 равна длине отрезка ВВ1

Объяснение:

Для доказательства равенства длин отрезков АА1 и ВВ1 на рисунке 112, где О и О1 - центры окружностей, СА1 и СВ1 - касательные к окружностям, мы можем использовать следующие свойства окружностей и касательных:

1. Любой радиус, проведенный к точке касания, будет перпендикулярен касательной.
2. Все радиусы окружности равны между собой.

Воспользуемся этими свойствами для доказательства равенства длин отрезков:

Предположим, что АА1 ≠ ВВ1. Тогда длина отрезка АО будет не равна длине отрезка ВО1.

Так как О1С1 - касательная, и О1О ⊥ О1С1, то угол О1ОС1 является прямым углом.

Аналогично, так как ОС - касательная, и ОО1 ⊥ ОС, то угол ОО1С является прямым углом.

Но так как у двух прямых углов только один общий отрезок (OO1), АО и ВО1 не могут иметь разную длину.

Следовательно, длина отрезка АА1 должна быть равна длине отрезка ВВ1.

Пример:

На рисунке 112 изображены две окружности с центрами в точках О и О1. К ним проведены касательные СА1 и СВ1 соответственно. Докажите, что длина отрезка АА1 равна длине отрезка ВВ1.

Совет:

Чтобы лучше понять это доказательство, полезно представить себе окружности и касательные на рисунке. Обратите внимание на то, что радиусы окружностей равны между собой, и что касательные перпендикулярны радиусам в точках касания.

Задача на проверку:

На рисунке 112 изображены две окружности с центрами в точках О и О1. К ним проведены касательные СА1 и СВ1 соответственно. Если длина отрезка АО равна 4, а длина отрезка СА1 равна 6, найдите длину отрезка ВВ1.